______.
11.
已知点 P 0,1 ，椭圆
x2
y2
m
m
1
上两点
A
，
B
满足
AP
2PB
，当
m
______时，点
B
横坐
4
标的绝对值最大.
12.
已知椭圆 C ：
x2 6
y2 m2
1
6 m 0 左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，短轴的两个端点分别为 B1 ， B2 ，
点 P 在椭圆 C 上，且满足 PF1 PF2 PB1 PB2 ，当 m 变化时，给出下列四个命题：①点 P 的轨迹关
（2）求 z 1 的取值范围.
19. 假定一个弹珠（设为质点 P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径 R 1 ）的中心 F 为右焦点的 椭圆 C ，已知椭圆的右端点 A 到小球表面最近的距离是 1，椭圆的左端点 B 到小球表面最近的距离是 5.
2
.
（1）求如图给定的坐标系下椭圆 C 的标准方程；
z1 z2 z1 z2 ，则 z1 z2 0 ；③若复数 z 满足 z2 z 2 ，则 z 是纯虚数；④若复数 z 满足 z z ，则
z 是实数，其中真命题的个数是（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
16.
已知 F
为抛物线 y2
x 的焦点，点 A ， B 在抛物线上且位于 x 轴的两侧，且 OA OB
上海中学高二上期末数学试卷
一、填空题
1. 若复数 1 2i z 3i 1，则 z ______.
2020.01
2. 抛物线 y2 x 的准线方程是______.
3. 椭圆 x2 3y2 6 的焦距是______.
4. 已知复数 a ， b 满足集合a,b a2,b 1 ，则 ab ______.
C. 充分必要
D. 既非充分又非必要
14. 双曲线 kx2 y2 1的一条渐近线与直线 2x y 1 0 垂直，则此双曲线的离心率是（ ）
A. 4 3
B. 5
C. 5 2
D. 3 2
15. 给出下列四个命题：①若复数 z1 ， z2 满足 z1 z2 0 ，则 z1 z2 ；②若复数 z1 ， z2 满足
2 （其中 O 是
坐标原点），则 ABO 与 AFO 的面积之和的最小值是（ ）
A. 2
B. 3
17
C.
2
8
三、解答题
D. 10
17. 已知复数 z 满足 z 2 2z 7 4i ，求 z .
18.
已知复数 z
2
i
m
i
2i 1
（其中
i
是虚数单位，
m
R
）.
（1）若复数 z 是纯虚数，求 m 的值；
（1）求 a 的值；
（2）设 A1, 0 ， B 1, 0 ，过 A 且斜率为 k 的直线与“羽毛球形线”相交于 P ， Q ， Q 三点，是否存在
实数 k ，使得 QBA PBA ，若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由.
22.
已知椭圆 C ： x2 y2 a2 b2
1a b 0 经过点 M 1,
（3）线段 AT BT 是否为定值，如果是，求 AT BT 的值；如果不是，求 AT BT 的取值范围.
一、填空题
1. 2
Hale Waihona Puke 2. x 1 43. 4 4. 1
8. 3, 2 3
9. 3 3
505
10.
2
参考答案
5. 5 6i 6. 4,
11. 5
12. ①③
7. , 2
【第 9 题解析】设 F1 关于 F1PF2 平分线的对称点为 F1' ， 由题意及椭圆对称性，可知 F1PF1' 为等边三角形， PF1' x 轴且经过 F2 ，
于 y 轴对称；②存在 m 使得椭圆 C 上满足条件的点 P 仅有两个；③ OP 的最小值为 2；④ OP 最大值为
6 ，其中正确命题的序号是______.
二、选择题
13. “ k 1 ”是“方程 x2 y2 1表示焦点在 x 轴上的椭圆”的（ k 3 2k 4
）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
（2）弹珠由点 A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心 O 的距离是 13 时，弹珠由于外力作用
发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率 k 为“变轨系数”，求 k 的取值范围，使弹珠和小球
不会发生碰撞.
x 20. 已知曲线 C 的参数方程是
2t 2 2 4t （参数 t R ）.
60 ，
若 F1 关于 F1PF2 平分线的对称点在椭圆 C 上，则椭圆的离心率是______.
10.
已知一族双曲线
En
：
x2
y2
n 2019
n N *, n 2019
，设直线 x 2 与 En 在第一象限内的交点为
An ， An 在 En 的两条渐近线上的射影分别是 Bn ， Cn ，记 An BnCn 的面积是 an ，则 a1 a2 a2019
2 2
，
N
0,
1
，直线
l
：
y
kx
m
与椭圆
C
相
3
交于 A ， B 两点，与圆 x2 y2 2 相切与点 T . 3
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）以线段 OA ， OB 为邻边作平行四边形 OAPB ，若点 Q 在椭圆 C 上，且满足 OP OQ （ O 是坐标
原点），求实数 的取值范围；
y
t
1 2t
（1）曲线 C 的普通方程；
（2）过点 A2,1 的直线与该曲线交于 P ， Q 两点，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.
21. 由半圆 x2 y2 1 y 0 和部分抛物线 y a x2 1 y 0, a 0 合成的曲线 C 称为“羽毛球形
线”，且曲线 C 经过点 M 2,3 .
的取值范围是______.
8. 平面上一台机器人在运行中始终保持到点 P 2, 0 的距离比到点 Q 2, 0 的距离大 2，若机器人接触不
到过点 M 3,3 且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是______.
9.
F1 ， F2 分别为椭圆 C ：
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的左右焦点， P 为椭圆 C 上一点，且 F1PF2
5. 计算：1 2i 3i2 4i3 10i9 ______.
6. 已知抛物线 C ： y2 4x ，过焦点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 P 、 Q 两点，则 PQ 的取值范围是
______.
7. 已知 P 为双曲线 x2 y2 1右支上的一个动点，若点 P 到直线 y x 2 的距离大于 m 恒成立，则实数 m