（10）双星及三星系统和万有引力综合问题一、双星系统在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。
它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。
如果双星间距为L ，质量分别为M 1和M 2，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。
特点：（1）向心力相同由双星之间的引力提供21n n F F = （2）周期相同：21T T = （3）角速度相同：21ωω=!解题思路：双星之间的万有引力提供向心力 研究M 1 121221R M L M GM ω= 研究M 2222221R M LM GM ω= 两式相除得1221M M R R =(半径与质量成反比) 又 L R R =+21 得L M M M R 2121+=，L M M M R 2111+=，()L M M G L T 2112+==πω， r v ω=（线速度与半径成正比）等效模型：中心天体质量M 1+M 2，一卫星围绕其做圆周运动，半径为L 。
（方便计算^两卫星总质量和双星周期）即()L Tm L m M M G 222214π=+ 例题1：经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”是由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如右图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力的作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2.则可知( ) A ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2引力距离轨道半径B ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2C ．m 1做圆周运动的半径为52LD ．m 2做圆周运动的半径为52L例题2：双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。
研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。
若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )A ．n 3k 2T B ．n 3k T C ．n 2k TD ．n k T例题3：我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T,S 1到C 点的距离为r 1,S 1和S 2的距离为r,万有引力常量为G.由此可求出S 2的质量为\例题4：两颗靠得很近的天体组合为双星，它们以两者连线上的某点为圆心，做匀速圆周运动，以下说法中正确的是( )A ．它们做圆周运动的角速度大小相等B ．它们做圆周运动的线速度大小相等C ．它们的轨道半径与它们的质量成反比D ．它们的轨道半径与它们的质量的平方成反比例题5：天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G ）2324GT r二、三星问题 "（1）三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。
这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。
运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：()r v m r T m r m ma r Gm r Gm n 2222222242====+πω两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
（2）如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。
每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供：rv m r T m r m ma L Gm n 222222430cos 2====⨯⨯︒πω其中L ＝2r cos 30°︒=30cos 2r L 。
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
例题5：如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M ，万有引力常量为G ，则( )A ．甲星所受合外力为5GM 24R 2 B ．乙星所受合外力为GM 2R 2"C ．甲星和丙星的线速度相同D ．甲星和丙星的角速度相同例题6：宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，万有引力常量为G ，则( )A ．每颗星做圆周运动的线速度为Gm R B ．每颗星做圆周运动的角速度为3Gm R 3C．每颗星做圆周运动的周期为2πR3 3GmD．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关三、万有引力的综合问题年8月11日，天空出现了“超级月亮”，这是月球运动到了近地点的缘故。
然后月球离开近地点向着远地点而去，“超级月亮”也与我们渐行渐远。
在月球从近地点到达远地点的过程中，下面说法正确的是()A．月球运动速度越来越大B．月球的向心加速度越来越大C．地球对月球的万有引力做正功D．虽然离地球越来越远，但月球的机械能不变年2月11日，俄罗斯的“宇宙—2251”卫星和美国“铱—33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞。
这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。
碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。
假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是A．甲的运行周期一定比乙的长B．甲距地面的高度一定比乙的高C．甲的向心力一定比乙的小D．甲的加速度一定比乙的大3.如图，地球赤道上山丘e，近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地球做匀速圆周运动。
设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则A．v1>v2>v3B．v1<v2<v3C．a1>a2>a3D．a1<a3<a2年12月2日1时30分，搭载嫦娥三号探测器的长征三号乙火箭点火升空。
假设为了探测月球，载着登陆舱的探测飞船在以月球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1登陆舱随后脱离飞船，变轨到离月球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2。
最终在月球表面实现软着陆、无人探测及月夜生存三大创新。
若以R表示月球的半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响。
则下列有关说法正确的是()A．月球表面的重力加速度g月＝4π2r1T12B．月球的第一宇宙速度为2πRr13T1C．登陆舱在半径为r2轨道上的周期T2＝r23r13T1 D．登陆舱在半径为r1与半径为r2的轨道上的线速度之比为m1r2m2r15.如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动。
星球相对飞行器的张角为θ。
下列说法正确的是()A．轨道半径越大，周期越长B．轨道半径越大，速度越大C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度ep年9月25日至28日我国成功实施了"神舟"七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。
飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。
下列判断正确的是（）A．飞船变轨前后的机械能相等B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度年12月2日，我国探月卫星“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，飞行轨道示意图如图所示．“嫦娥三号”从地面发射后奔向月球，先在轨道Ⅰ上运行，在P点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q为轨道Ⅱ上的近月点，则有关“嫦娥三号”下列说法正确的是( )A．由于轨道Ⅱ与轨道Ⅰ都是绕月球运行，因此“嫦娥三号在两轨道上运行具有相同的周期。
B．“嫦娥三号”从P到Q的过程中月球的万有引力做正功C．由于“嫦娥三号”在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度，因此在轨道Ⅱ上经过P的加速度也小于在轨道Ⅰ上经过P的加速度D．由于均绕月球运行，“嫦娥三号”在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上具有相同的机械能。
8.设在地球上和在某天体上以相同的初速度竖直上抛一物体的最大高度之比为k（均不计阻力），且已知地球和某天体的半径比也为k，则地球质量与此天体的质量比为( )k9.如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面的一斜坡上P点，沿水平方向以初速度0v抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球的半径为R，万有引力常量为G。
求：（1）该星球表面重力加速度；（2）该星球的密度ρ。
10.月球半径是地球半径的41，在地球和月球表面分别用长度相同的细线拴住一个小球，使之在竖直平面内做圆周运动，已知小球通过圆周的最高点的临界速度，在地球上是1v，在月球上是2v，求地球与月球的平均密度之比．22214vv；。