万有引力应用二——双星及多星问题
1、（多选）经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两颗星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为l ，质量之比约为m 1：m 2=3：2，则可知（ ）
A ．m 1：m 2做圆周运动的线速度之比为2：3
B ．m 1：m 2做圆周运动的角速度之比为1：1
C ．m 1做圆周运动的半径为
53l D ．m 2做圆周运动的半径为5
3
l 答案及解析：.ABD
解：双星围绕连线上的O 点做匀速圆周运动，彼此间万有引力提供圆周运动向心力，可知双星做圆周运动的周期和角速度相等．令星m 1的半径为r ，则星m 2的半径为l ﹣r
则有：据万有引力提供圆周运动向心力有：
即m 1r=m 2（l ﹣r ）又∵ ∴ 则星m 2的半径为，故C 错误，D 正确
又因为v=rω可知，两星做圆周运动的线速度之比等于半径之比即：，所以A 正确．双
星运动的角速度相同，故B 正确．故选：ABD ．
2、(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T ，两星到某一共同圆心的距离分别为R 1和R 2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是( )
A ．这两颗恒星的质量必定相等
B ．这两颗恒星的质量之和为
4π
2
R 1＋R 23
GT 2
C ．这两颗恒星的质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1
D ．其中必有一颗恒星的质量为
4π
2
R 1＋R 23
GT 2
BC [对m 1有：G
m 1m 2
R 1＋R 2
2
＝m 1R 1
4π
2
T 2
，解得m 2＝4π2R 1R 1＋R 2
2
GT
2
，同理可得m 1＝4π2
R 2R 1＋R 2
2
GT
2
，故
两者质量不相等，故选项A 错误；将两者质量相加得m 1＋m 2＝4π
2
R 1＋R 23
GT 2
，故选项B 正确；m 1∶m 2＝
R 2∶R 1，故选项C 正确；两者质量之和为4π
2
R 1＋R 23
GT 2
，则不可能其中一个的质量为
4π
2
R 1＋R 23
GT 2
，
故选项D 错误．]
3、（单选）我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知引力常量为G ．由此可求出S 2的质量为（ ）
A. B.
C. D.
答案及解析：D 解：设星体S 1和S 2的质量分别为m 1、m 2， 星体S 1做圆周运动的向心力由万有引力提供得：
解得 m 2=，故D 正确、ABC 错误．故选：D ．
4、(单选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为
m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平
面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，下列说法正确的是( ) A ．每颗星做圆周运动的角速度为
3Gm
L 3
B ．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C ．若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
D ．若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍
C 任意两星间的万有引力F ＝G m 2
L
2，对任一星受力分析，如图所示．由图中几何关系和牛顿第二定
律可得：3F ＝ma ＝mω2L 3，联立可得：ω＝3Gm L 3，a ＝ω2L 3＝3Gm L 2，选项A 、B 错误；由周期公式可得：T ＝2π
ω＝2π
L 3
3Gm
，当L 和m 都变为原来的2倍，则周期T ′＝2T ，选项C 正确；
由速度公式可得：v ＝ωL 3
＝Gm
L ，当L 和m 都变为原来的2倍，则线速度v ′＝v ，选项D 错误．]
5、(多选)宇宙间存在一个离其他星体遥远的系统，其中有一种系统如图所示，四颗质量均为m 的星体
位于正方形的顶点，正方形的边长为a ，忽略其他星体对它们的引力作用，每颗都在同一平面内绕正方形对角线的交点O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，则( ) A ．每颗星做圆周运动的线速度大小为
1＋
24
Gm a
B ．每颗星做圆周运动的角速度大小为
Gm 2a
3 C ．每颗星做圆周运动的周期为2π
2a
3
Gm
D ．每颗星做圆周运动的加速度与质量有关
AD [由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r ＝
22
a ，每颗星体在其他三个星体万有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有
引力定律和向心力公式得：G
m 22a
2
＋2G m 2a 2cos45°＝m v 2
2
2a
，解得v ＝1＋
24Gm
a
，角速度为ω＝v
r ＝2＋22Gm a 3，周期为T ＝
2πω
＝2π2a
3
4＋2Gm
，加速度a ＝v 2r ＝22＋1Gm
2a 2
，故选项A 、D 正确，B 、C 错误．]
珠”的奇观．假设火星和木星绕太阳做匀速圆周运动，周期分别是T 1和T 2，而且火星离太阳较近，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一平面内，若某一时刻火星和木星都在太阳的同一侧，三者在一条直线上排列，那么再经过多长的时间将第二次出现这种现象( )
A.T 1＋T 22
B.T 1T 2
C.T 1T 2
T 2－T 1
D.
T 21＋T 2
2
2
C [根据万有引力提供向心力得：GMm r 2＝m 4π2r T 2，解得T ＝2πr 3
GM
，火星离太阳较近，即轨道半径小，
所以周期小．设再经过时间t 将第二次出现这种现象，此为两个做匀速圆周运动的物体追及相遇的问题，
虽然不在同一轨道上，但是当它们相遇时，运动较快的物体比运动较慢的物体多运行2π弧度．所以
2πT 1
t －
2π
T 2t ＝2π，解得t ＝T 1T 2
T 2－T 1
，选项C 正确．] 7、宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已知双星系统中星体1的质量为m ，星体2的质量为2m ，两星体相距为L ，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G .求该双星系统运动的周期． 2πL
L
3Gm
解析 双星系统围绕两星体间连线上的某点做匀速圆周运动，设该点距星体1为R ，距星体2为r 对星体1，有G 2mm L 2＝m 4π2
T 2R 对星体2，有G 2mm L 2＝2m 4π
2
T
2r
根据题意有R ＋r ＝L ，由以上各式解得T ＝2πL
L 3Gm。