高数第9章答案高等数学（化地生类专业）（下册）姜作廉主编《习题解答》习题91,{6,6,3},6(2)6(1)3(2)0,2280.3(2,3,n AB x y z x y z π==---++-=-+-=v v u u u v 指出下列平面与坐标系的位置关系，并作图：（1）x-2y+1=0;(2)3z+2=0;(3)x+2y+3z=1;(4)2y+z=0.2已知A(2,-1,2)和B(8,-7,5),求一平面通过A 且垂直于线段AB.解：设所求平面的法向量为n 由点法式方程，有：故平面方程为：求过点0),(2,3,4),(0,6,0)0,230230,,,.46460Ax By Cz D A B D D D DA B c D A B C B D --+++=++=⎧⎪--++==-=-=-⎨⎪+=⎩≠的平面方程。
解：设所求平面方程为将已知三点带入，解得：显然，由题意D 0,故所求方程为：3x+2y+6z-12=04求过点(-1,-1,2)且在三个坐标轴上有相同截距的平面方程。
解：设平面在三个坐标轴上的截距为t ，则平面方程由截距式1,,0,3yzt t D x ++=⇒≠≠=可得：x将点（1,-1,2）代入，1-1+2=t t=2.t 故平面方程：x+y+z-2=0.5(1)通过x 轴和M(2,-1,1)解：设所求过x 轴平面方程为By+Cz+D=0,将M 代入：-B+C+D=0,又D=0,故B=C(0),平面方程y+z=0(2)平行于yOz 平面且经过点（3,0,5）D解：设平面为Ax+D=0,将点代入：3A+D=0,A=-显然3故平面方程(0),202.6(1,2,1),(3,2,1)31,,3121133,3,.321213DB C y A B y x y zA B A C A C A C A C ⎧=-≠⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪=⎩=--++=⎧+-=⎪⎪=-=-⎨⎪-++=⎪⎩(3)通过(1,2,-1)和(-5,2,7)且平行于x 轴。
解：设平面方程为By+Cz+D=0,2B-C+D=0故平面方程：2B+7C+D=0平面过在轴的截距为解：设平面方程将代入解得：故平面方程为21,230333x y zx y z -+-=-++=：即：7.2608(1,1,1)2410350.0,0239240,,10350x y z x y z x y z Ax By Cz D A B C D A B C A B A B C ≠--+=--+-=++=+++=-++=⎧⎪-+==-=-⎨⎪++=⎩过点（1,2,3）且平行于x-2y-z+6=0.解：设平面方程为tx-2ty-tz+D=0(t 0)D将点代入：t-4t-3t+D=0,t=故平面方程为：6过点且垂直于和解：设平面方程由题意得：解得：2,,10523910409C D C x y z =+--=故平面方程为：判别下列每组中两个平面是否平行，垂直，重合或相交：（1）x-3y+2z-1=0,2x-6y+4z+2=0;(2)x-y+z-1=0,2x+y+z+1=0;(3)3x+y+z+1=0,x-4y+z+2=0;(4)2x+3y+z-1=0,4x+6y+2z-2=0;10求经过原点及（6,-3,2）且与平面4x-y+2z=8垂直的平面。
解：设2223,,,0,0,2:223011(0,1,0)00,2,,.12A B C B D B x y z Ax By Cz D B D C D A D B D C D A B C Cπ⎧⎪==-=≠⎨⎪⎩+-=-+++=⎧⎪-+=⎪+====-⎨++=平面方程Ax+By+Cz+D=0,由题意得：D=06A-3B+2C+D=0解得：显然4A-B+2C=0故平面方程为求过和（0,0,1）且与xOy 平面成角的平面方程3解：设平面方程为解得：显然0,21012{2,1,3};(2)(1,2,3);(3)D x y z ≠±+-+==--v 故平面方程为分别求满足下列每组条件的直线标准方程：（1）过点(1,2,3)且平行于向量s 过原点及过点（1,0,-1）且平行与x 轴；（4）经过点（0,-3,2）而与两点（3,4,-7)和(2,7,-6)的连线平行。
1310,(2)10;2340,290,(3)(4)35210;8230;11114925326015(2,1,1)420x y y z x y z x z x y z y z x y z x y z M x y z --=⎧⎧⎨⎨+-=⎩⎩+--=+-=⎧⎧⎨⎨-++=+-=⎩⎩---==--+-=⎧-+-+=化下列直线的一般方程为标准方程：x+2y-z-6=0,（1）2x-y+z+1=0;化直线的标准方程为直线的一般方程。
求过点且平行于直线162211,;01110210,10,(2)210,210.173,348976,4512y z x y z x y z x y z x y z x y z y z y z x y ⎨⎩+--+====---++-=---=⎧⎧⎨⎨-++=-++=⎩⎩+==++--====的直线方程。
求下列两直线的交角：x-1（1）1判定下列每组直线是否共面？若共面，求它们所在的平面方程。
x （1）直线:x-y-3=0,3x-y-z-4=0;2x+2(2)37.21867,3614324030(2),.50201944223;73(2)327233;1420(1,2z x y y z x y z x y z x x z z y z x y z y z x y z --=⎧⎧⎨⎨+=⎩⎩+-+=++=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩+==---==-=+-==++=-判定下列每组直线是平行还是垂直3x+z=4（1）y+2z=9讨论下列直线与平面的位置关系：x+3（1）和2和3x-2y+7z=8;x-2(3)和3求12222010101110000222,1)2210021,221,22,12,[(1)(2)(1)]7,3144x y z y z t y t z t d x y z Ax By Cz D t d A B C -++-=-+===+=+=-+=-+-+++++=-==++++1到平面的距离。
解：过点且垂直于已知平面的直线方程为：x-1由直线与平面位置关系（垂直）可知交点坐标：1x 故距离其中解得：21345103453024122(1,2,1)13123(1,2,3),78910045632412125(3,2,1)0x y z x y z x y z x y z x y z y z x M +--=+-+=-++-==-==+++=-==--求两平行平面及间的距离。
求过点且与直线垂直的平面方程。
求过点垂直于直线且平行于平面的直线方程。
x+1求经过点（2,-1,3）,平行于平面x-y+z=1并与直线1相交的直线方程。
求点到直线21112262310126122721121{,,}320(1)213y z x y z x y z y z y z m n p m n p x y z m n p -==-+==++-=-+-==-==-=+-=⎧⎪---⎨==⎪⎩v 的距离求直线与平面的交点。
x-1求经过直线且垂直于平面x-4y+3z+6=0的平面方程。
3x+128过M(2,1,3)且与垂直相交的直线方程。
3解：设所求直线方程的方向向量为S m n p 又两直线共面：30(2)12,,2213214290,10(1,1,1)234030:,350p m n m x y z x y z x y z M x y z L y x z ===----==-+-=-+-=-++-=⎧⎨+-=⎩2 -12+1 1-1 3综上，解得：故所求直线方程为：求通过直线和点的平面方程。
求直线且在轴和z 轴上有相等截距的平面方程。
31求垂直于平面5x-y+3z-2=0且与它的交线在xOy 平面上的平面方程。
解：设平面方程为5300265,.,2,3:153266031A B C z A t B t C t D t x y z -+=⎧⎧⇔⎨⎨=≠⎩⎩==-=-=----=Ax+By+Cz+D=0,5A-B+3C=0(A-5t)x+(B+t)y+(C-3t)z+D+2t=0(t 0)综上，解得：故所求平面方程为求垂直于平面5x-y+3z-2=0且与y 轴和z 轴上有相等截距的平面方程。
10320101(1)033(1,2,3x y z x y z x y z L x y z x y z λλλλλλλλλ++-=⎧++=⎨-++=⎩++-+-++=⎧⎨⎩1求直线在平面上的投影方程。
解：设通过直线的平面方程为：即：（1+）x+(1-)y+(1+)z-1+=0,与所给平面垂直，则：1++1-+1+=0，解得：=-3，所求平面为：-2x+4y-2z-4=0-x+2y-z-2=0故投影方程为x+y+z=0求到两定点M 2222222222),(2,1,4)34450;(2)242100.35(1)(2),39(M y z z x y z x y z y z R -++--=++-++-=+++-===222的距离相等点的轨迹方程。
求下列球面的中心和半径：（1）x 求满足下列条件的各球面的方程：（1）中心在点（1,2,3）且半径为4（2）中心在（1，-1，2）且过点（2,1,4）解：设所求球面方程为:(x-1)将点坐标代入，解得：R 故球面：2222222222222221)(1)(2)9(3)1644(2)4;(2)16253722120381;(2)916x y z x y z y z z x y z x y z x y z y z -+++-=⎧++=⎧+=⎪⎨⎨=++-=⎪⎩⎩⎧++=⎨++-=⎩+==22中心在点（1,2,1）且与平面x+2y+2z-10=0相切。
36指出下列方程组表示的曲线：x （1）求圆的圆心和半径下列方程代表什么曲面，并作出他们的草图：x （1）22222222222222224;(3)4;(4)490;(5)0;(6) 1.49392216,0409,341(,)0,01x x x y x y x y x y z x y z y z x y z F x y z y z x =-=+=-=++=-+=++=++===Γ++=222分别求母线平行于轴和y 轴而通过曲线x 的柱面方程。
求母线平行于z 轴,准线为L:x 的柱面方程。
求以曲线为准线，以l,m,n 为柱面母线的方向数的柱面方程。
42求以曲线：x 2:300430,2x y z y z y z z x π⎧+++=⎨++=⎩+-==+2为准线，母线垂直于平面的柱面方程。