《高等代数》05-06年度第一学期期中试题
一、单项选择题
1．对任意n阶方阵A、B总有[ ]
A. AB = BA B. | AB | = | BA |
C. (AB)T=ATBT D. (AB)2=A2B2
2. 在下列矩阵中，可逆的是[ ]

A. 000010001 B. 110220001 C. 110011121 D. 100111101
3. 设A是3阶方阵，且|A| = 2，则| A-1 |等于[ ].
A. 2 B. 12 C. 12 D. 2
4. 设A是mn矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是[ ].
A. A的行向量线性无关 B. A的行向量线性相关
C. A的列向量线性无关 D. A的列向量线性相关

5．设有m维向量组12():,,...,nI，则[ ].

A. 当m < n时，()I一定线性相关 B. 当m > n时，()I一定线性相关
C. 当m < n时，()I一定线性无关 D. 当m > n时，()I一定线性无关
6．已知1、2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，1、2是其导出组
0Ax
的一个基础解系，1k、2k为任意常数，则方程组Axb的通解可表成[ ].
A. 1211212()2kk B. 1211212()2kk
C. 1211222kk D. 1211222kk
7. 向量组12():,,...,nI,（n>1） 线性无关等价于[ ].

A. 存在一组不全为0的数nkkk,,,21，使其线性组合nkiik1不等于0
B. 其中任意两个向量线性无关
C. 任何一个向量均不能用其它向量线性表出
D. 存在一个向量不能用其它向量线性表出

8. 设矩阵111121231A的秩为2，则=[ ].
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
9. 设A是n阶可逆矩阵，()adjA是A的伴随矩阵（adjoint of A），则[ ].

A. 1()nadjAA B. ()adjAA C. ()nadjAA D. 1()adjAA
10. 设A，B为n阶方阵，满足AB = 0，则必有[ ].
A. A = 0 或 B = 0 B. A + B = 0 C. | A | = 0 或 | B | = 0 D. | A | + | B | = 0

二、填空题
11．设mn矩阵A的m个行向量线性无关，则矩阵TA的秩为 。

12．若线性方程组123233231222xxxxxx无解，则= 。
三、判断题
13．( )如果12,,...,r线性无关，而1r不能由12,,...,r线性表示，那么

121,,...,r
线性无关。
14．( )如果12,,...,r线性相关，那么其中每个向量都可被其余向量线性表示。
15．( )A，B为n阶方阵，k为正整数，则()kkkABAB。
16．( )若C=DP，P为可逆阵，则rank(C) = rank(D)
17．( )若A=PB，P为可逆阵，则A的列向量组与B的列向量组等价。

18．( )若三个向量1，2，3线性相关，且3不能由1，2线性表示，则1，2线
性相关。
19．( )如果当12...0rccc时1122...0rrccc，那么12,,...,r线性
无关。
20．( )设矩阵A，B满足AB = I，则由线性方程组Ax = b可求得唯一解 x = Bb

四、计算题

21．设001020101A，矩阵X满足2AXIAX，其中I为3阶单位阵，求矩阵X

22．6342A，求nA。
23．三阶方阵B不是零矩阵，且B的每一列均为齐次线性方程组0302022321321321xxxxxxxxx的解。
求和B。
解：

方程组可写为0AX，其中系数矩阵11312221A，321xxxX。

设321,,BBB为B的第1，2，3列，
因为B不是零矩阵，即321,,BBB不全为零向量，故齐次线性方程组有非零解，所以0A，
由此解得1。
B的每一列都是方程组的解，即0,0,0221ABABAB，由此0221BBBA，
即0AB

五、证明题
24．已知矩阵A满足2AA，AI，其中I为单位阵，证明0A

25．若已知关于x的一元n次方程式1110...0nnnnaxaxaxa有n+1个不同的根，
证明110...0nnaaaa
26．A是nm矩阵，B是pn矩阵，nBrank)(，
证明：当0AB时，nmnmA0
答案
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
B D B C A D C B A C

题号
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案
m 0 R F F R F R F F
17．反例





10500,3211,2121PBAPB

20. 矩阵AB不一定是方阵，所以没有办法保证得到唯一解。
21．解：
由于2AXIAX，

所以2()()()AIXAIAIAI。

因为001010101IA可逆，

所以201030101IAX。
22．解：

AAAAAnn1288)21(328)21(32)21(32)21(32)21(32)21(326342








24．已知矩阵A满足2AA，AI，其中I为单位阵，证明0A
证法1（反证法）：
假设0A，则A可逆，
由2AA得211AAAA，
即AI，这与AI矛盾！
故假设不成立，命题得证。

证法2：
由2AA得()0AAI，

因此矩阵()AI的每一列都是齐次线性方程组0AX的解。
由于AI，所以()AI的列中有非零列，
相应地，方程0AX有非零解，因此0A。

典型错误证法：
1．错误证法1

0000000)(0)(2A
IAIAIAAIAAIAAIAAIAAA（错误！！！）
由
或者

2．错误证法2
01010)1(222A
IAIAAAAAAAAAAA（错误！！！）由
或者
即

3．错误证法
000000)(2A
A
IAIAAIAAIAAA知由
（错误！！！）或者

25．证明：
设方程的n个不同的根为121,,...,nxxx，则有
111111012121201111110...0...0...0nnnnnnnnnnnnnnnaxaxaxaaxaxaxaaxaxaxa
























写成矩阵表示形式为：
111112210111101nnnnnnnnnnaxxaxxaxx




































，

可以将之看成关于未知量01,,,naaa的齐次方程组。
因为121,,...,nxxx各不相同，所以上述齐次方程组系数矩阵的行列式
11111221111111()01nnnnniiinnnnxxxxxxxx
















，

那么方程只有零解，即100nnaaa。
证毕！