沈阳农业大学理学院第一学期期末考试
《高等代数》试卷（1）
一、填空（共35分，每题5分）
1．设4
2
()49f x x x x =++-, 则(3)f -= 69_ .. 2．当t = _2,-2 .时, 3()3f x x x t =-+有重因式。

3. 令()f x ,()g x 是两个多项式, 且33()()f x xg x +被21x x ++整除, 则
(1)f = 0_ , (1)g = _0 .
4. 行列式
31021
62
10113201
-=-- 23 。

5. 矩阵的积41010311
1321022
01134⎛⎫
⎪
--⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
9219911--⎛⎫
⎪⎝⎭。

6. 1
500031021-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
1
05011023⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪
- ⎪⎝⎭ 7. 1234123
412
342202220430
x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪
+--=⎨⎪---=⎩的一般解为 134234523423x x x x x x
⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩
, 34,x x 任意取值。

二、（10分）令()f x ,()g x 是两个多项式。

求证((),())1f x g x =当且仅当(()(),()())1f x g x f x g x +=。

证：必要性. 设(()(),()())1f x g x f x g x +≠。

（1%）
令()p x 为()(),()()f x g x f x g x +的不可约公因式，（1%）则由()|()()p x f x g x 知
()|()p x f x 或()|()p x g x 。

(1%)
不妨设()|()p x f x ，再由()|(()())p x f x g x +得()|()p x g x 。

故()|1p x 矛盾。

(2%) 充分性. 由(()(),()())1f x g x f x g x +=知存在多项式(),()u x v x 使
()(()())()()()1u x f x g x v x f x g x ++=,(2%)
从而()()()(()()())1u x f x g x u x v x f x ++=,(2%) 故((),())1f x g x =。

(1%)
三、(16分),a b 取何值时，线性方程组
1231231
2321(21)31(3)21
ax bx x ax b x x ax bx b x b ++=⎧⎪
+-+=⎨⎪+++=-⎩ 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。

解：
21212131011032100122201011000122a b a b a b b a b b b b b a b
b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭⎝⎭
-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+-⎝⎭
(5%)
当2
(1)0a b -≠时，有唯一解：1235222
, (1)+11
b b x x x a b b b ---=
==++，；
(4%) 当1b =时，有无穷解：3210,1,x x ax ==-1x 任意取值；
当a 0,5b ==时，有无穷解：14
12333,,,x k x x k ==-=任意取值；(3%)
当1b =-或0 1 5a b b =≠±≠且且时，无解。

(4%)
四、(10分)设12,,...,n a a a 都是非零实数，证明
123121111...
11111 (111)
111...11...(1).............111...
11n
n i i
n
a a a a a a a a =+++=++∑
证: 对n 用数学归纳法。

当n=1时 , 1111
11(1)D a a a =+=+, 结论成立(2%);
假设n-1时成立。

则n 时
n D = 1
12233
111...
10111...
11111 (10111)
(11)
111...10111...11..........................
111...
1111...11n
a a a a a a a +++++++ =1211...n n n a a a a D --+ (4%)
现由归纳假设1112111
...1n n n i i D a a a a ---=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
∑
有 n D =1211...n n n a a a a D --+=112112111
......1n n n n i i
a a a a a a a a ---=⎛⎫++ ⎪⎝⎭
∑
=12111
...1n
n n i i
a a a a a -=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
∑
,(3%) 故由归纳原理结论成立。

(1%)
五、(10分)证明4
()1f x x =+在有理数域上不可约。

证: 令1x y =+得(1%)
432()()4642g y f x y y y y ==++++。

(3%)
取素数p=2满足
2|2,2|4,2|6,2|4,且2不整除1, 4不整除2. (2%)
再据艾茵斯坦茵判别法知4
3
2
()4642g y y y y y =++++在有理数域上不可约，（2%）
从而4
()1f x x =+在有理数域上不可约（2%）
六、（9分）令A 为数域F 上秩为r 的m n ⨯矩阵，0r >。

求证：存在秩 为r 的m r ⨯矩阵F 和秩为r 的r n ⨯矩阵G , 使得A FG =。

证: A 为数域F 上秩为r 的m n ⨯矩阵，0r >, 则存在m m ⨯可逆阵
P 和n n ⨯可逆阵Q
使
00
0r
I A P Q ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.（3%） 进而令
(),00r r
I F P G I Q ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
（4%）
就得A FG =（2%） .
七、（10分）设A , B 是n n ⨯矩阵, 且A B +,A B -可逆。

求证22n n ⨯矩阵A B P B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
可逆, 且求1
P -。

证:
||||||00
A B A B B A B B P A B A B B
A
B A A
A B
++=
===+-≠+-，
故P 可逆 （5%）
令1X Y P T S -⎛⎫=
⎪⎝⎭
有 00
n n I A B X Y I B A T
S ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.（1%） 进而00n n
AX BT I AY BS BX AT BY AS I +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪
⎪+=⎩（1%），解得1111
1()()2
1()()2X A B A B Y A B A B T Y S X ----⎧
⎡⎤=++-⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=+--⎨⎣⎦⎪=⎪⎪=⎩
（3%）。