导数压轴题型归类总结目 录一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31）（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围 （51）（一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84）七、导数结合三角函数 （85）书中常用结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1xx<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.一、导数单调性、极值、最值的直接应用1. （切线）设函数a x x f -=2)(.（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得33±=x .所以当33=x 时，)(x g 有最小值932)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='=曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12122x a x x +=，∴12111211222x x a x x a x x x -=-+=-∵a x >1，∴02121<-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x ax x a x x a x x =⋅>+=+=11111212222222 所以a x x >>21.2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当.3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[].42)2()('22x e a a x a x x f +-++=.2232.220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令以下分两种情况讨论： ①a 若＞32，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：)(所以x f .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数②a 若＜32，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：内是减函数。

，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(a a a a x f --∞+---∞ .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极大值在函数 .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极小值在函数3. 已知函数221()2,()3ln .2f x x axg x a x b =+=+⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a >，试建立b 关于a 的函数关系式，并求b 的最大值；⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。

4. （最值，按区间端点讨论）已知函数f (x )=ln x －a x. (1)当a>0时，判断f (x )在定义域上的单调性；(2)若f (x )在[1,e ]上的最小值为32，求a 的值.解：(1)由题得f (x )的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x )＝1x ＋2a x ＝2x ax+. ∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0,＋∞)上是单调递增函数.(2)由(1)可知：f ′(x )＝2x ax +， ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去). ②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e )＝1－a e ＝32，∴a ＝－2e (舍去). ③若－e <a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a .当1<x <－a 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1,－a )上为减函数； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－a ,e )上为增函数，∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32⇒a综上可知：a .5. （最值直接应用）已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+.依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. 经检验，13a =时，符合题意.（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-.② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-.当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. 当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a-；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-；当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞；当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞.（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意.当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-，由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意.当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意. 所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞.6. （2010北京理数18）已知函数()f x =ln (1+x )-x +22x x (k ≥0). (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =()f x 在点(1,f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求()f x 的单调区间.解：（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1'()121f x x x=-++ 由于(1)ln 2f =，3'(1)2f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3ln 2(1)2y x -=-即322ln 230x y -+-=（II ）(1)'()1x kx k f x x+-=+，(1,)x ∈-+∞.当0k =时，'()1x f x x=-+. 所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x +-==+，得10x =，210kx k -=>所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)kk-上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)kk-. 当1k =时，2'()1x f x x=+ 故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞. 当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-==+，得11(1,0)kx k -=∈-，20x =. 所以没在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)kk-上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)kk-7. （2010山东文21，单调性）已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈ ⑴当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；⑵当12a ≤时，讨论()f x 的单调性.解：⑴ln 20x y -+=⑵因为 11ln )(--+-=xaax x x f ， 所以 211)('x a a x x f -+-=221x ax ax -+--=，),0(+∞∈x ， 令 ,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x8. (是一道设计巧妙的好题，同时用到e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密)已知函数()ln ,().xf x xg x e == ⑴若函数φ (x ) = f (x )－11x x ，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．解：（Ⅰ） ()1()1x x f x x ϕ+=--11ln -+-=x x x ，()()()22211121-⋅+=-+='x x x x x x ϕ． ∵0x >且1x ≠，∴()0x ϕ'>∴函数()x ϕ的单调递增区间为()()∞+，和11,0． （Ⅱ）∵1()f x x'=，∴001()f x x '=，∴ 切线l 的方程为0001ln ()y x x x x -=-, 即001ln 1y x x x =+-, ① 设直线l 与曲线()y g x =相切于点11(,)xx e ，∵()x g x e '=，∴101xe x =，∴10ln x x =-,∴0ln 101()xg x e x -==.∴直线l 也为()00011ln y x x x x -=+， 即0000ln 11x y x x x x =++， ② 由①②得 00ln 1ln 1x x x x -=+，∴0001ln 1x x x +=-． 由（Ⅰ）可知，()x ϕ1ln --=x x 在区间1,+∞（）上递增． 又12()ln 011e e e e e ϕ+-=-=<--，22222213()ln 01e e e e e ϕ+-=-=>-， 结合零点存在性定理，说明方程()0x ϕ=唯一0x ，故结论成立．9. （最值应用，转换变量）设函数221()(2)ln (0)ax f x a x a x+=-+<．(1)讨论函数()f x 在定义域内的单调性；(2)当(3,2)a ∈--时，任意12,[1,3]x x ∈，12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围．解：⑴221()2a f x a x x -'=+-222(2)1ax a x x +--=2(1)(21)ax x x +-=． 当2a <-时，112a -<，增区间为11(,)2a -，减区间为1(0,)a -，1(,)2+∞．当2a =-时，112a -=，减区间为(0,)+∞．当20a -<<时，112a ->，增区间为11(,)2a -，减区间为1(0,)2，1(,)a-+∞． ⑵由⑴知，当(3,2)a ∈--时，()f x 在[1,3]上单调递减，∴12,[1,3]x x ∈，12|()()|f x f x -≤(1)(3)f f -1(12)[(2)ln 36]3a a a =+--++，即12|()()|f x f x -≤24(2)ln 33a a -+-．∵12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，∴(ln 3)2ln 3m a +-＞24(2)ln 33a a -+-，即243ma a >-，又0a <，∴243m a<-． ∵(3,2)a ∈--，∴132384339a -<-<-，∴m ≤133-． 10. （最值应用）已知二次函数()g x 对x R ∀∈都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--且(1)1g =-，设函数19()()ln 28f xg x m x =+++（m R ∈，0x >）．（Ⅰ）求()g x 的表达式；（Ⅱ）若x R +∃∈，使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设1m e <≤，()()(1)H x f x m x =-+，求证：对于12[1,]x x m ∀∈，，恒有12|()()|1H x H x -<．解：（Ⅰ）设()2g x ax bx c =++，于是()()()()2211212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以121.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，又()11g =-，则12b =-．所以()211122g x x x =--． …………3分（Ⅱ）()2191()ln ln (0).282f xg x m x x m x m x =+++=+∈>R ，当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；…………4分当m =0时，2()02x f x =>对0x ∀>，()0f x >恒成立； …………5分 当m <0时，由()0mf x x x x'=+=⇒=，列表：[]min ()2mf x f m ==-+这时，[]min 0()0e<0.2mm f x m m ⎧-+>⎪>⇔⇒-<⎨⎪<⎩，所以若0x ∀>，()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是(e 0]-，．故0x ∃>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞，．…………9分（Ⅲ）因为对[1]x m ∀∈，，(1)()()0x x m H x x --'=≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减．于是21211|()()|(1)()ln .22H x H x H H m m m m -≤-=--2121113|()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m-<⇐--<⇔--<记13()ln (1e)22h m m m m m=--<≤，则()221133111()022332h'm m m m =-+=-+>， 所以函数13()ln 22h m m m m =--在(1e]，是单调增函数，所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2eh m h -+≤=--=<，故命题成立． …………12分11. 设3x =是函数()()()23,xf x x ax b e x R -=++∈的一个极值点.（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（2）设()2250,4xa g x a e ⎛⎫>=+⎪⎝⎭，若存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()121f g ξξ-< 成立，求a 的取值范围.解：（1）∵()()23xf x x ax b e-=++∴()()()()''32321x x fx x a e x ax b e --=++++-()232xx a x b a e -⎡⎤=-+-+-⎣⎦由题意得：()'30f =，即()23320a b a +-+-=，23b a =--∴()()2323xf x x ax a e -=+--且()()()'331x f x x x a e -=--++令()'0f x =得13x =，21x a =--∵3x =是函数()()()23,xf x x ax b e x R -=++∈的一个极值点∴12x x ≠，即4a ≠-故a 与b 的关系式为()23,4b a a =--≠-.当4a <-时，213x a =-->，由()'0fx >得单增区间为：()3,1a --；由()'0f x <得单减区间为：(),3-∞和()1,a --+∞；当4a >-时，213x a =--<，由()'0f x >得单增区间为：()1,3a --；由()'0f x <得单减区间为：(),1a -∞--和()3,+∞；（2）由（1）知：当0a >时，210x a =--<，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,4上单调递减，{},)32()4(),0(min )(3min e a f f x f +-==()()max 36f x f a ==+,∴()f x 在[]0,4上的值域为]6,)32([3++-a e a . 易知()2254xg x a e ⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,4上是增函数, ∴()g x 在[]0,4上的值域为2242525,44a a e ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 由于()222516042a a a ⎛⎫⎛⎫+-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又∵要存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()121f g ξξ-<成立，∴必须且只须()2025614a a a >⎧⎪⎨⎛⎫+-+< ⎪⎪⎝⎭⎩解得:302a <<.所以，a 的取值范围为30,2⎛⎫⎪⎝⎭.12. 2()()()xf x x ax b e x R =++∈． （1）若2,2a b ==-，求函数()f x 的极值；（2）若1x =是函数()f x 的一个极值点，试求出a 关于b 的关系式（用a 表示b ），并确定()f x 的单调区间；（3）在（2）的条件下，设0a >，函数24()(14)x g x a e +=+．若存在]4,0[,21∈λλ使得1|)()(|21<-λλf f 成立，求a 的取值范围．解:（1）∵22()(2)()[(2)()]x x x f x x a e x ax b e x a x a b e '=++++=++++当2,2a b ==-时，2()(22)x f x x x e =+-,则'()f x 2(4)x x x e =+.令'()0f x =得2(4)0x x x e +=，∵0x e ≠,∴240x x +=，解得124,0x x =-= ∵当(,4)x ∈-∞-时，'()0f x >，当(4,0)x ∈-时'()0f x <，当(0,)x ∈+∞时'()0f x > ∴当4x =-时，函数()f x 有极大值，46()f x e 极大＝， 当0x =时，函数()f x 有极小值，()2f x =-极小． （2）由（1）知2()[(2)()]x f x x a x a b e '=++++ ∵1x =是函数()f x 的一个极值点 ∴(1)0f '= 即[1(2)()]0e a a b ++++=，解得32b a =--则2()[(2)(3)]x f x e x a x a '=+++--＝(1)[(3)]x e x x a -++ 令()0f x '=，得11x =或23x a =--∵1x =是极值点，∴31a --≠，即4a ≠- .当31a -->即4a <-时，由()0f x '>得(3,)x a ∈--+∞或(,1)x ∈-∞由()0f x '<得(1,3)x a ∈--当31a --<即4a >-时，由()0f x '>得(1,)x ∈+∞或(,3)x a ∈-∞-- 由()0f x '<得(3,1)x a ∈--. 综上可知：当4a <-时，单调递增区间为(,1)-∞和(3,)a --+∞，递减区间为(1,3)a -- 当4a >-时，单调递增区间为(,3)a -∞--和(1,)+∞，递减区间为(3,1)a --。