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一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1. （切线）设函数 f (x) x 2 a . （1）当 a 1时，求函数 g(x) xf (x) 在区间[0,1] 上的最小值； （2）当 a 0 时，曲线 y f (x) 在点 P(x1, f (x1 ))(x1 a ) 处的切线为 l ，l 与 x 轴交于点 A(x2 ,0) 求证： x1 x2 a .
x ，a 2 a 2 a 2， 2a 2a 2a，
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值↗Βιβλιοθήκη 所以f (x)在(，a 2)，(2a， )内是增函数，在(a 2， 2a)内是减函数。
函数f ( x)在x a 2处取得极大值f (a 2)，且f (a 2) (4 3a)e a2 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
⑴当a 0时，f (x) x2e x ，f '(x) (x2 2x)e x，故f '(1) 3e.
所以曲线y f (x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为3e.
f '(x) x (a 2)x 2a 4ae . ⑵
2
2
x
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m
令f '(x) 0，解得x 2a，或x a 2.由a 2 知， 2a a 2. 3
a 0 y f (x)在点(1, f (1)) ⑴当
时，求曲线
处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
⑵当 a 2 时，求函数 f (x) 的单调区间与极值. 3
解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础
知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
∴f(x)min＝f(e)＝1－ a ＝ 3 ，∴a＝－ e (舍去).
e2
2
③若－e<a<－1，令f ′(x)＝0，得x＝－a.
当1<x<－a时，f ′(x)<0，∴f(x)在(1,－a)上为减函数；
当－a<x<e时，f ′(x)>0，∴f(x)在(－a,e)上为增函数，
2
以下分两种情况讨论：
① 若a ＞ 2 ，则 2a ＜ a 2 .当 x 变化时， f '(x)，f (x) 的变化情况如下表： 3
x ， 2a 2a 2a，
a 2 a 2，
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f (x)在(， 2a)，(a 2， )内是增函数，在(2a，a 2)内是减函数.
五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84） 七、导数结合三角函数 （85）
书中常用结论
⑴ sin x x, x (0, ) ，变形即为 sin x 1，其几何意义为 y sin x, x (0, ) 上的的点与原 x
点连线斜率小于1.
⑵ex x 1 ⑶ x ln(x 1) ⑷ ln x x ex , x 0 .
解：(1) a 1时， g(x) x3 x ，由 g (x) 3x 2 1 0 ，解得 x 3 . 3
g (x) 的变化情况如下表：
x
g (x) g (x)
0
(0, 3 )
3
-
0↘
3
( 3 ,1)
1
3
3
0
+
极小值 ↗
0
所以当 x 3 时， g(x) 有最小值 g( 3 ) 2 3 .
3
4. （最值，按区间端点讨论）
已知函数f(x)=lnx－ a . x
(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为 3 ，求a的值. 2
解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且
f ′(x)＝ 1 x
＋
a x2
＝
xa x2
.
∵a>0，∴f ′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数.
导数压轴题型归类总结
目录
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31）
（一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围 （51）
（一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围
函数f (x)在x 2a处取得极小值f (2a)，且f (2a) 3ae2a .
3. 已知函数 f (x) 1 x2 2ax, g(x) 3a2 ln x b. 2
⑴设两曲线 y f (x)与y g(x) 有公共点，且在公共点处的切线相同，若 a 0 ，试建立 b 关
于 a 的函数关系式，并求 b 的最大值； ⑵若 b [0, 2], h(x) f (x) g(x) (2a b)x 在(0,4)上为单调函数，求 a 的取值范围。
函数f ( x)在x 2a处取得极大值f (2a)，且f (2a) 3ae 2a . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
函数f (x)在x a 2处取得极小值f (a 2)，且f (a 2) (4 3a)ea2.
② 若a ＜ 2 ，则 2a ＞ a 2 ，当 x 变化时， f '(x)，f (x) 的变化情况如下表： 3
∵ x1
a
，∴ a x12 2x1
0 ，即 x2
x1 .
又∵
x1 2
a 2x1
，∴ x2
x12 a 2 x1
x1 2
a 2x1
2
x1 a 2 2x1
a
所以 x1 x2 a .
2. （2009天津理20，极值比较讨论）
已知函数 f (x) (x2 ax 2a2 3a)ex (x R), 其中 a R
(2)由(1)可知：f ′(x)＝ x a ， x2
①若a≥－1，则x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－a＝ 3 ，∴a＝－ 3 (舍去).
2
2
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，
3
3
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(2)证明：曲线 y f (x) 在点 P(x1,2x12 a) 处的切线斜率 k f (x1 ) 2x1
曲线 y f (x) 在点P处的切线方程为 y (2x12 a) 2x1 (x x1 ) .
令
y
0
，得
x2
x12 2x1
a
，∴ x2
x1
x12 2x1
a
x1
a
x12 2x1