数列极限的基 本性质
三、 收敛数列的性质.
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
若极限
lim
n
xn存在，
则极限唯一.
即若
lim
n
xn
a
且
lim
n
xn
b
则必有 a b.
证法1 ( 用反证法) 假设
lim
n
xn
a
及
lim
n
xn
b
且
a b.
因
lim
n
xn
a
取 ba,
2
使当 n > N1 时,
(<)
且
lim
n
xn
a,
则
a 0. ()
证 (1) 对 a > 0 , 取 a,
则 N N , 当n N 时,
xn a a
(2) 用反证法证明.
xn a a 0
注
由 xn 0 (n
N0 )，且
lim
n
xn
a
如：
xn
1 n
0,
但
lim
n
xn
lim 1 n n
0.
a 0.
从而
使当 n >
N2 时, 有
xn
ab 2
取 N max N1 , N2 , 则当 n > N 时,
既有xn
a
2
b，又有xn
ab 2
矛盾！故假设不真 !
2. 有界性
定义 对数列xn , 若存在正数 M , 使得一切正整 数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn 有界； 否则, 称为{ xn }无界.
例如, 数列 {(1 )n1} 虽有界，但不收敛 . 推论 无界数列必发散.
3. 保号性、保序性
(1)
若
lim
n
xn
a,
lim
n
yn
b , 且 a b,
则 N N , 当n N 时, 有 xn yn.
(2) 若 N N ， 使当n > N 时，恒有
xn yn
且 lim xn a , lim yn b，则 a b.
例如: 数列 xn （ 1）n1 有界
数列 xn 2n
无界
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间 [ M , M ]上.
定理2.2 (收敛数列的有界性)
收敛的数列必定有界.
即若
lim
n
xn
a,
则常数 M 0,
使 xn M (n =1,2,…).
证
设
lim
n
xn
a,
取 1 ,则 N ,当n N 时, 有
4. 收敛数列与其子数列的关系
(1) 子数列的概念
在数列{ xn }中任意选取无穷多项，按原来在{ xn }
中的次序排列 xn1 , xn2 , ..., xnk , ... 其中 1 n1 n2 ... nk ... 则 {xnk }：称为数列 { xn }的一个子数列(或子列)。
例如, 从数列 { 1 } 中抽出所有的偶数项 n
xn a 1,
从而有
xn ( xn a) a xn a a 1 a
取 M max x1 , x2 , , xN ,1 a
则有 xn M ( n 1 , 2 , ) .
即收敛数列必有界.
注 有界性是数列收敛的必要条件， 但不是充分条件.
关系： { xn } 收敛
{ xn } 有界
yn
b
ba, 2
从而
yn
b
b
2
a
a
2
b
取 N max N1 , N2 , 则当 n > N 时, 便有
xn
a
2
b
yn ,
与已知矛盾, 于是定理得证.
推论：
(收敛数列的保号性)
(1)
若
lim
n
xn
a,
且 a 0,
(<)
则 N N ，使当n > N 时，
恒有 xn 0.
(<)
(2) 若 xn 0(n N0 ),
n
n
证（1）：a b.
取
a
2
b
,
因
lim
n
xn
a,
故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
xn
a
ba, 2
即
b
2
a
xn
a
b
2
a
,
从而
xn
a
b
2
a
a
2
b
当 n > N1 时,
xn
ab 2
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
同理,
因
lim
n
yn
b,
故存在 N2 ,
使当 n > N2 时, 有
xn a
ba, 2
N1 N+,
即当 n > N1 时,
b
2
a
xn
a
b
2
a
3a 2
b
xn
a
2
b
,
从而
使当
n
>
N1 时,
xn
a b, 2
从而
使当
n
>
N1
时,
xn
a
2
b,
同理,
因
lim
n
xn
b
故
N2 N+,
使当
n
>
N2
时,
有
xn
b
b
2
a
,
b
2
a
xn
b
b
2
a
a
2
b
xn
3b 2
a
注 1° 某{xnk }收敛
{xn} 收敛
例如，
数列 xn
（
1）n1，虽然
lim
k
x2k
1
但{xn} 发散.
2° 若数列有两个子数列收敛于不同的极限， 则原数列一定发散 .
定理
lim
n
xn
a
lim
k
x2k
lim
k
x2k 1
a.
例如， x n (1)n1 ( n 1, 2, ) 发散 !
lim
k
x2k
1
lim
k
x
1 2k
是其子数列. 它的第k 项是
xnk
x2k
1 2k
(k 1, 2, 3，)
(2) 收敛数列与其子数列的关系
结论：（1)：
若数列lim n
xn
a,
（2)：
则{xn}的任意子数列
{xnk }
也收敛，且
lim
k
xnk
a.
数列lim n
xn
a,
若数列{x2k } {x2k1}都收敛于a