极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化一、直角坐标的伸缩设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧>='>='）（）（0,0,μμλλy y x x 的作用下，点P(x ，y)对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ>0y ′＝μ·y ，μ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）． 【强化理解】1．曲线C 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x 2+y 2=1，则曲线C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．4x 2+9y 2=1【解答】解：曲线C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x ′2+y ′2=1②，把①代入②得到：故选：A2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1．【解答】解：设变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1．将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1， 比较系数得λ＝13，μ＝12．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ．将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1．亦可利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 22＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y 2．3、（2015春•浮山县校级期中）曲线x 2+y 2=1经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（ ）A ．25x 2+9y 2=1B ．9x 2+25y 2=1C ．25x+9y=1D ．+=1【解答】解：由伸缩变换，化为，代入曲线x 2+y 2=1可得25（x ′）2+9（y ′）2=1，故选：A ．二、极坐标 1.公式：（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M 直角坐标(),x y 极坐标(),ρθ 互化公式 cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ()222tan 0x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标2.极坐标与直角坐标的转化（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路 A ：直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤①运用()222tan 0x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩②在[)0,2π内由()tan 0yx xθ=≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． B::极坐标(),ρθ化为直角坐标(),x y 的步骤，运用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路 A ：直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将式子里面的x 和y 用θρθρsin cos 和转化，最后整理化简即可。

例如：x+3y-2=0：用公式将x 和y 转化，即02-sin 3cos =+θρθρ B ：极坐标转化成直角坐标类型①：直接转化---直接利用公式转化类型②：利用三角函数的两角和差公式，即()()2sin 2cos k kρθαρθα±=±=或思路：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cos θ±α)化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简第二步：利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩转化解：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cos θ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，即第二步：第二步：利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩转化类型③：角可以不是特殊角）为倾斜角，可以是特殊（ααθ=，该直线经过原点（极点），对应的直角坐标方程为kx x即y tanαy =⋅=(注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+By+C=0) 三、曲线极坐标与直角坐标互换 （一）圆的直角与极坐标互换 1.圆的极坐标转化成直角坐标 类型一：θθρsin cos +=详解：一般θθsin ,cos 要转化成x 、y 都需要跟ρ搭配，一对一搭配。

所以两边同时乘以ρ，即0--,sin cos 22222=++=+∴+=y x y x y x y x 即θρθρρ 类型二：2=ρ没有三角函数时，可以考虑两边同时平方44222=+=y x 即ρ2.圆的直角坐标转化成极坐标3)1()4(22=++-y x解题方法一：拆开--公式代入014sin 2cos 801428031216822222=++-∴=++-+=-++++-θρθρρy x y x y y x x 即解题方法二：代入-拆-合031sin 2sin 16cos 8cos 3)1sin ()4cos (222222=-++++-=++-θρθρθρθρθρθρ即 014sin 2cos 8014sin 2cos 8)sin (cos 2222=++-=++-+∴θρθρρθρθρθθρ即【强化理解】1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化．①将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，143π化成直角坐标；②将点N 的直角坐标(4，－43)化成极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．【解答】解：①∵x ＝4cos 143π＝4cos 2π3＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－2，y ＝4sin 143π＝4sin 2π3＝23，∴点A 的直角坐标是(－2，23)．②∵ρ＝42＋（－43）2＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0，2π)，又点(4，－43)在第四象限，∴θ＝5π3，∴对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫8，5π3．2、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．①y 2＝4x;②θ＝π3(ρ∈R )；③ρ2cos2θ＝4; ④ρ＝12－cos θ．【解答】解：①将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ．化简得ρsin 2θ＝4cos θ．②当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝yx ＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)；当x ＝0时，y ＝0．显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝3x ．③因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4． ④因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0．3．化极坐标方程ρ2cos θ﹣ρ=0为直角坐标方程为（ ） A ．x 2+y 2=0或y=1B ．x=1C ．x 2+y 2=0或x=1D ．y=1【解答】解：∵ρ2cos θ﹣ρ=0，∴ρcos θ﹣1=0或ρ=0， ∵，∴x 2+y 2=0或x=1， 故选C ．4．将曲线ρcos θ+2ρsin θ﹣1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为（ ） A ．y+2x ﹣1=0 B ．x+2y ﹣1=0 C ．x 2+2y 2﹣1=0 D ．2y 2+x 2﹣1=0 【解答】解：由曲线ρcos θ+2ρsin θ﹣1=0，及，可得x+2y ﹣1=0．∴曲线ρcos θ+2ρsin θ﹣1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为x+2y ﹣1=0．故选：B ．5、在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝22.，求圆O 和直线l 的直角坐标方程；【解答】解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.三、参数方程 1.必记的曲线参数方程 已知条件普通方程参数方程经过点P(x 0，y 0)，倾斜角为α )(00x x k y y -=-⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(α为参数)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r22020)y -y x -x r =+（）（ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数)长半轴a 和短半轴b椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)实轴a 和虚轴b双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝btan θ(θ为参数)已知p 抛物线y 2＝2px(p ＞0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt2.参数方程与普通方程的转化 （1）参数方程转化成普通方程 类型一：含t 的消参思路：含有t 的参数方程消参时，想办法把参数t 消掉就可以啦，有两个思路： 思路一：代入消元法，把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y)， 思路二：加减消元：让含有t 前面的系数相同或成相反数后相加减。

例如：曲线C ：(t为参数）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y tx 221222解：思路一：代入消元：∵x ＝2＋22t ，∴22t ＝x －2，代入y ＝1＋22t ，得y ＝x －1，即x －y －1＝0.思路二：加减消元：两式相减，x －y －1＝0. 类型二：含三角函数的消参思路：三角函数类型的消参一般的步骤就是：移项-化同-平方-相加 移项：把除了三角函数的其他相加减数字移动左边 化同：把三角函数前面的系数化成相同 平方：两道式子左右同时平方 相加：平方后的式子进行相加 （注：有时候并不需要全部步骤）例如：圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.解：移项：⎩⎨⎧=+=-θθsin 2cos 1y x （三角函数前面系数已经相同，省去化同，直接平方）平方：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-θθ2222sin 2cos 1）（）（y x 相加：12)y 1-x 22=++（）（ 3.参数方程涉及题型（1）直线参数方程的几何意义（2）距离最值（点到点、曲线点到线、） 【强化理解】1、直线l 的参数方程为为参数）．写出直线l 的直角坐标方程；【解答】直线l 的参数方程为为参数）．由上式化简成t=2（x ﹣1）代入下式得根据ρ2=x 2+y 2，进行化简得C ：x 2+y 2=1（2分）2、．将参数方程（θ为参数）化为普通方程为（）A．y=x﹣2 B．y=x﹣2（0≤y≤1） C．y=x+2（﹣2≤x≤﹣1） D．y=x+2【解答】解：将参数方程（θ为参数）化为普通方程为：y=x+2，（﹣2≤x≤﹣1）．故选：C．。