7.5数列综合应用【知识要点回顾】一、数列综合问题中应用的数学思想1．用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在自然数集上的函数；2．用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程；3．用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列的研究； 4．数列综合问题常常应用分类讨论思想，特殊与一般思想，类比联想思想，归纳猜想思想等。

二、解决问题的主要思路有1．把综合问题分解成几个简单的问题 2．把综合问题转化为熟悉的数学问题 3．通过观察，探索问题的一般规律性 4．建立数列模型，使用模型解决问题三、实际问题的数列模型依据实际问题的递推、等差、等比情境，将问题转换为递推数列、等差数列和等比数列，建立数列模型探究和解决实际应用问题。

四、注意（1）直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式的推导过程。

（2）求一般数列的前n 项和，无通法可循，为此平时要注意掌握某些特殊数列前n 项和的求法。

（3）数列求和时，要注意观察它的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。

【课前小练】 1、某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，6小时后细胞成活的个数是（ B ）A ．63B ．65C ．67D ．71656122)1(11253611121==+=∴⋅-=-∴-===-+a n a a a a a a a n n n n n n 时，，，解：2、根据市场调查结果、预测某种家用商品从年初开始的几个月内积累的需求量n S （万件）近似的满足：），，，，1221()521(902 =--=n n n nS n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ C ）A ．5月，6月B ．6月，7月【解析】6111==S a ， 960541523)915(301)915(30122221<<<+->-+--+-=-=≥-n n n n n n n S S a n n n n 所以，所以，，由时， *∈N n ，所以n =7或8，选C3、过圆x y x 1022=+内一点(5，3)有k 条弦,其长度组成等差数列,且最小弦长为数列{}n a 的首项1a ，最大弦长为m 末项k a ，若公差)32,31(∈d ，则k 最大值为（ B ）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】因为圆内过点（5，3）的最小的弦长为以（5，3）为中点的弦长为8，即1a =8，又最大的弦为直径，所以k a =10 Bk k k k d k k a a d k ，选故即所以，又所以673216321231)3231(121max 1=<<>-><-<∴∈-=--=4、已知一个运算程序如下：602620091)(3)1(211是的运算结果，则，，，，⊗∈+=+⊗=⊗=⊗*N k n m k n m k n m {}60263120092200913213)1(111=⨯-+=⊗⊗+=+⊗=⊗=）（等差数列，则的，公差是为首项是可知数列，，由已知解：令n k n k n m 5、某工厂2003年至2006年的产量和为100吨，2005年至2008年的产量和为121吨，则该工厂从2003年到2008年平均增长率为10﹪【解析】设年平均增长率为p ，则各年的年产量依次成等比数列，公比为1+p ，[][]%101.021.1)1121)1(1)1(1)1(100)1(1)1(1242141==∴=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-+=+-+-p P p p p a p p a 所以（则【典例精析】题型一 函数与数列的综合问题的等差数列。

，公差为是首项为，，，设，且：已知例24)()()()()10(log )(121*∈≠>=N n a f a f a f a a x x f n a ①设a 是常数，求证：{}n a 成等差数列；②若)(n n n a f a b =，{}n b 的前n 项和是n S ，当2=a 时，求n S 【解析】①222)1(4)(+=⨯-+=n n a f n ，{}为等比数列。

所以为定值所以，所以即n n n n n n n n a a n a aa a a a a n a )2(22log 2222122≥===+=+-+ ②)(n n n a f a b =3314325433254254322222222222)1(21)21(2162)1(222222)1(2232222)1(2423222)1()2()22(2)22(log ++-++++++++++⋅=⋅+---+=⋅+-++++⋅=-⋅++⋅++⋅+⋅=⋅+++⋅+⋅+⋅=⋅+=⋅+==+==n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n S n n S n n S n S n n b a a n a a 所以两式相减得时，当【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一，特征是以函数为载体构建数列的递推关系，题型二 数列模型实际应用问题【例2】某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2007年底全县的绿化率已达30﹪，从2008年开始，每年将出现这样的局面：即原有沙漠面积的16﹪将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4﹪又被沙化。

①设全县面积为1，2007年底绿化面积为1031=a ，经过n 年绿化面积为1+n a ， 求证：254541+=+n n a a ②至少需要多少年（取整数）的努力，才能使全县的绿化率达到60﹪？【解析】①证明：由已知可得n a 确定后，1+n a 表示如下： 1+n a =n a (1－4﹪)＋(1－n a )16﹪即25454%16%801+=+=+n n n a a a ②由254541+=+n n a a *-++++∈>-+≥≤---≤---≤-≤≥⋅-≥⋅-=⋅-=-≠-=--=-N n n n n n a a a a a a n n n nn nn n n 42lg 312lg 12lg )12lg 3)(1(2lg )5lg 2lg 2)(1(2lg 54lg )1(21545354215453)54(2154)54(215402154)54(5454111111所以，，）即（）（，则有若即：所以又有∴n 最小整数为5，故至少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60﹪.【点拨】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题。

⎩⎨⎧--+=-=-+-=-+=-+-=-+=∴∴=-+=+=+--++++为偶数）为奇数）所以：成等差数列。

成等差数列，（常数），n a n n a n x an n a n x x a n n x x x x x x x x x x n x x n x x n n n n n n n n n n n ((12)1(22)1(21)12()1(2,,,,,,2)1(222211224212312211 角三角形。

时，存在直或或综上：时无解。

，当时，当所以：为偶数时，当时无解；当，时，当时当所以：为奇数时，当角三角形，则要使等腰三角形为直轴于作（，1276132412721214)1214(22561,332,1)311(121)1214(2)1(221214,2)0,)0,(111===≥==+=+=≥====-=+=-=∴+=∴⊥=+-+++a a a n a n n a n a n n a n a n n a n a n C B A A n C B C x C B aA A a n A a n A nn n n n n n n n n n n n 题型三 数列中的探索性问题【例3】已知点,),,2(),,1(2211 y B y B ),,(n n y n B （*∈N n ）顺次为直线12141+=x y 上的点，点)0,(,),0,(),0,(2211n n x A x A x A 顺次在x 轴上的点，其中)10(,1<<=a a x ，对于任意正整数n ，点n n n n B A B A 构成以1,,+为顶点的等腰三角形。

①求数列{}n y 的通项公式，并证明它为等差数列； ②求证：{}n n n x x x 是常数，并求数列-+2的通项公式；③上述等腰三角形1+n n n A B A 中是否可能存在直角三角形，若可能求此时a 的值，若不可能，请说明理由。

【解析】①41,12141=-+=+n n n y y n y 为定值，所以{}n y 为等差数列。

②由题意得： ③当n 为奇数时，当n 为偶数时，【点拨】本题关键依据几何性质及题设获取题目信息，找出数列的递推关系式或变化规律，转化为比较直接的数列问题来解。

)1(2)0,1()0,1(11a A A a n A a n A n n n n -=-+-+++，12112)411(400411400400)511(800)511(800--+=+==-=-=n n n n b n b b a n a 年收入第）（第二年收入万元第一年收入年投入第，第二年投入58.2)2lg 31(22lg 12lg 312lg 2245lg 2lg 22)45(2)45(400548002211≈-+>->->-∴<⋅<⋅---n n n n n n 所以所以）（所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⨯++⨯+=----n n n n a n )54(14000)54(80054800800,51180051180011 所以总投入：）（年投入第）万元（第二年投入⎤⎡-=⨯++⨯+=++--1)5(1600)45(40045400400411400)411(40011n n n n b n 总收入：）（年收第，第二年收【易错题】从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加41。

①设第n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b ，写出n a 、n b 的表达式。

②至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 【错解】①第一年投入1a =800 ②，因为n n a b >所以 n ≥3【正解】①第一年投入800万元，同理，第一年收入400万元，②，因为n n a b >所以5113.452)54(07)45(2)54(50)45(140001451600≥><>-⋅+⋅>⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n n n n n n n 即：，所以，所以化简得：）（ 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入。