2020届【全国市级联考word 版】天津市红桥区高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数的图象关于直线对称，当时，，若，，，则的大小关系是A ．B ．C ．D ．2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是（ ） A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，但不会是等比数列D ．可能是等比数列，但不会是等差数列3．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π-D ．42π-4．已知数列｛n a ｝满足112,5n n a a a +-==-，则126||||...||a a a +++＝（ ） A ．9B ．15C ．18D ．305．在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC ==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．725B ．14425C ．125 D ．12256．已知命题p ： “,a b a b ∀>>”，命题q ：“000,20x x ∃”，则下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∨⌝7．函数sin()(0,)y A x A ωϕϕπ=+><在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为（ ）A ．2sin(2)3y x π=+B ．2sin()23x y π=-C ．2sin(2)3y x π=- D ．22sin(2)3y x π=+ 8．已知函数()(0,0,0)()xf x Asin x e A ωϕωϕπ-=⋅+＞＞＜＜的图象如图所示，则A ω的可能取值为（ ）.A ．2πB ．πC ．32πD ．2π9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点(,0)16π-对称B ．关于点(,0)16π对称C ．关于直线16x π=对称 D ．关于直线4πx =-对称10．执行下边的程序框图，输入，则输出S 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．设{}n a 是首项为1a ，公差为2-的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．8B ．8-C ．1D ．1-12．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．ln (),()xf x eg x x ==B ．24(),()22x f x g x x x -==-+C ．sin 2(),()sin 2cos xf xg x x x ==D ．2()||,()f x x g x x ==二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．14．已知正四棱锥的底面边长为2，表面积为12，则它的体积为_____．15．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，顶点()0,B b 到2F 的距离为4，直线32x a =上存在点P ，使得21F PF ∆为底角是30︒的等腰三角形，则此椭圆方程为__________．16．已知()30A -,，圆()()22:131C x a y a--+-=上存在点M ，满足条件2MA MO=，则实数a的取值范围为__________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；求y 关于x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y 约为多少？附：相关系数公式()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--==--∑∑∑1222211ni ii nniii i x y nxyxnx yny ===---∑∑∑0.30.55≈0.90.95≈.回归方程y b x a ∧∧∧=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx ∧====---==--∑∑∑∑，a y b x ∧∧=-18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥菱形ABCD 所在的平面，60,ABC E ︒∠=是BC 的中点，M 是PD 的中点.求证：AE ⊥平面PAD ；若2AB AP ==，求三棱锥P ACM -的体积.19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为()1,0F ，且点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．求椭圆C 的方程；设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF 交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线4x =于Q 点，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上．20．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，焦距为23C 的方程；若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．21．（12分）等差数列{}n a 中，34574,6a a a a +=+=．求{}n a 的通项公式．记n S 为{}n a 的前项和，若12m S =，求m ．22．（10分）为了调查某地区70岁以上老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了100位70岁以上老人，结果如下： 男 女 需要 18 5 不需要3245（1）估计该地区70岁以上老人中，男、女需要志愿者提供帮助的比例各是多少？能否有99%的把握认为该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区70岁以上老人中，需要志愿者提供帮助的老人的比例？说明理由. 附：20()P K k ≥ 0.1000.050 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 2．C 3．C 4．C 5．B 6．C 7．D 8．B 9．B 10．D 11．D 12．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13． 14．15．221167x y += 16．3113,,2222⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）0.95；（2）0.3 2.5y x ∧=+，6.1百千克. 【解析】（1）直接利用相关系数的公式求相关系数r ，再根据相关系数的大小判断可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）利用最小二乘法求回归方程，再利用回归方程预测得解. 【详解】（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==. 所以()()51iii x x y y =--=∑(3)(1)(1)00010316-⨯-+-⨯+⨯+⨯+⨯=，====，所以相关系数()()5iix x y y r --=∑0.95==≈.因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）()()()51215630.32010iii ii x x y y b x x ∧==--====-∑∑. 那么450.3 2.5a ∧=-⨯=. 所以回归方程为0.3 2.5y x ∧=+. 当12x =时，0.312 2.5 6.1y ∧=⨯+=，即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克. 【点睛】本题主要考查相关系数和回归方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18． (1)见证明；(2) 3【解析】 【分析】(1)本题首先可以通过菱形的相关性质证明出AE AD ⊥，然后通过PA ⊥菱形ABCD 所在的平面证明出PA AE ⊥，最后通过线面垂直的相关性质即可得出结果；(2)可以将三角形APM 当成三棱锥P ACM -的底面，将AE 当成三棱锥P ACM -的高，最后通过三棱锥的体积计算公式即可得出结果．（1）证明：连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，60ABC ︒∠=，所以ABC ∆为正三角形， 因为E 是BC 的中点，所以AE BC ⊥， 因为//AD BC ，所以AE AD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊆平面ABCD ，所以PA AE ⊥， 又因为PA AD A ⋂=，所以AE ⊥平面PAD ．（2）2AB AP ==,则2AD =，AE =所以p?ACM C?PAM PAM 1111V S AE 223322V ∆==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=【点睛】本题考查立体几何的相关性质，主要考查线面垂直的证明以及三棱锥体积的求法，可以通过证明平面外一条直线垂直平面内的两条相交直线来证明线面垂直，考查推理能力，是中档题．19．（1）22143x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）（法一）由题意，求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求得2a =，进而求得b 的值，即可得到椭圆的标准方程；（法二）设椭圆C 的方程为221x y m n+=（0m n >>），列出方程组，求得,m n 的值，得到椭圆的标准方程。

（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，联立方程组，利用根与系数的关系和向量的运算，即可证得三点共线。