2020届【全国市级联考word 版】山东省临沂市高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =（ ） A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π2．设x ∈R ，则“11x +<”是“112x -<”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．在平面直角坐标系xOy 中，角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，若点A 、B 的坐标分别为34(,)55和43(,)55-，则sin()αβ+的值为（ ）A ．2425B ．725-C ．0D ．2425-4．设函数()f x x =-，()()2lg 41g x ax x =-+，对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为（） A ．(],4-∞ B ．(]0,4C ．(]4,0-D ．[)4,+∞5．在复平面内，与复数11i+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6． “对任意的正整数n ，不等式()()lg 1lg 0an a n a a <+>都成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．01a <<B ．102a <<C ．02a <<D ．102a <<或1a >7．已知点()2,8在幂函数()nf x x =的图象上，设(),ln ,2a f b f c f π⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c的大小关系为( ) A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<D ．b a c <<8．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13-B ．13C ．-3D ．39．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,L L ，即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N*≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ）A ．672B ．673C ．1346D ．2019 10．设函数()21ln1xf x x x+=-，则函数()f x 的图像可能为（ ） A ． B ．C ．D ．11．若直线l ：20(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则当21a b+取最小值时直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．12 C 2 D ．212．将函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x （ ）A ．为奇函数，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．为偶函数，在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1n n a a n+-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为：___,64a 的最大值为__.14．函数()sin(2)(0)f x x ϕϕ=+<的图像向左平移6π个单位长度，得到偶函数()g x 的图像，则ϕ的最大值为_________．15．上合组织峰会将于2018年6月在青岛召开，组委会预备在会议期间将,,,,A B C D E 这五名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作.若要求,A B 必须在同一组，且每组至少2人，则不同分配方法的种数为__________．16．已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A 在圆ρ＝2cosθ＋2sinθ上，点B 在直线31x ty t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)上，则|AB|的最小值为________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）正三角形ABC 的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起（其中P 在边AB 上，Q 在AC 边上），使平面APQ ⊥平面BPQC .D ，E 分别是PQ ，BC 的中点.证明：PQ ⊥平面ADE ；若折叠后，A ，B 两点间的距离为d ，求d 最小时，四棱锥A PBCQ -的体积.18．（12分）已知函数221()22x x f x e ae a x=--.讨论()f x 的单调性；若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.19．（12分）已知2)A ，3,1)B 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上两点.求椭圆C 的标准方程；设O 为坐标原点，M 为椭圆C 上一动点，点(3,0)P ，线段PM 的垂直平分线交y 轴于点Q ，求OQ的最小值.20．（12分）武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为12，游客之间选择意愿相互独立.从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望；（i ）若从游客中随机抽取m 人，记总分恰为m 分的概率为m A ，求数列{}m A 的前10项和；在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，探讨nB 与1n B -之间的关系，并求数列{}n B 的通项公式.21．（12分）在ABC ∆中，2A B =，1sin 3B =，23AB =.求sin ,sin A C 的值；求CA CB ⋅uu r uu r的值.22．（10分）已知函数()ln ()xf x e x ax a R =-+∈.当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；当1a ≥-时，求证：()0f x >.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 2．A 3．B 4．D 5．D 6．B 7．A 8．A 9．C 10．C 11．A 12．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．{3,1,1,3}-- 201614．56π-15．8. 16三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（I ）见解析；（II ）3364a 【解析】 【分析】（I ）连接AD ，DE ，AE ，可证AD PQ ⊥，DE PQ ⊥，从而可证PQ ⊥平面ADE .（II ）设AD x =，DE x =-（E 为BC 的中点），则计算可得2225248d x a ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭=，从而可得d 何时最小并能求得此时四棱锥A PBCQ -的体积. 【详解】（I ）连接AD ，DE ，AE ，在APQ ∆中， =AP AQ ，D 是PQ 的中点，所以AD PQ ⊥.又因为DE 是等腰梯形BPQC 的对称轴，所以DE PQ ⊥. 而AD DE D =I ，所以PQ ⊥平面ADE .（II ）因为平面APQ ⊥平面BPQC ，AD PQ ⊥，所以AD ⊥平面PBCQ ，连结BD ，则222d AD BD =+. 设AD x =，3DE x =-（E 为BC 的中点）， 于是222BD DE BE =+=22314x a ⎫-+⎪⎪⎝⎭.因此22222d x BD x DE =+=+22232BE x a x ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭2124a +=223548x a ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当3x =时，min 10d =. 此时四棱锥A PBCQ -的体积为13PBCQ S AD ⨯⨯梯形11322a a ⎛⎫=⨯+⋅ ⎪⎝⎭333364a =. 【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.立体几何中的最值问题应选择合适的变量，再根据条件得到目标函数，最后根据函数的性质得到最值.18．（1）当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增；当0a <时，()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增；（2）341,2a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）对a 分三种情况0,0,0a a a =讨论求出函数()f x 的单调性；（2）对a 分三种情况0,0,0a a a =，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.【详解】 （1）()()22'()22xx x x f x eae a e a e a =--=+-，当0a =时，2'()0xf x e =>，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，'()0f x <，ln(2)x a <，'()0f x >，ln(2)x a >， ∴()f x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增；当0a <时，'()0f x <，22222211{ a b c a a b c +===+，'()0f x >，ln()x a >-， ∴()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增. 综上：当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增； 当0a <时，()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增. （2）由（1）可知： 当0a =时，2()0xf x e=>，∴0a =成立.当0a >时，2ln(2)ln(2)2min 1()(ln(2))2ln(2)2a a f x f a e ae a a ==--22ln(2)0a a =-≥， ln(2)0a ≤，∴102a <≤.当0a <时，2ln()ln()2min 1()(ln())2ln()2a a f x f a e ae a a --=-=--- 2232ln()02a a a =--≥， 3ln()4a -≤，∴34a e ≥-，即340e a -≤<. 综上341,2a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．（1）22162x y +=；（2. 【解析】 【分析】（1）代点A,B 的坐标到椭圆的方程，得到关于a,b 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设M坐标为()00,M x y ，求出2322y OQ y --=，再利用基本不等式求得OQ.【详解】解：（1）代入A ，B 两点：221b=，2223116a a b +=⇒=，22b =， 所以椭圆C 的标准方程为：22162x y +=.（2）设M 坐标为()00,M x y ，则2222000016362x y x y +=⇒=-① 线段PM 的中点003,22x y N +⎛⎫⎪⎝⎭，031QN PM QNx k k k y -⋅=-⇒=， 所以QN l ：00003322y x x y x y -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 令0x =，并结合①式得222000000009333222222Q y x y y y y y y y -----=+=+=， 2000032322Q y OQ y y y y --===+≥= 当且仅当0032y y =，0y =OQ.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．（1）见解析（2）（i ）10231024（ⅱ）1212323n n B B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，211332nn B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）判断出X 可能取值为3，4，5，6，分别求出概率，进而求出其数学期望。