2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参考答案
说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准
规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分
的档次，给予相应的分数.
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．若0x >，0y >=的值为（ B ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2．已知△ABC 中，2AB AC ==，点D 在BC 边的延长线上，4AD =，则错误!
未找到引用源。

＝（ D ）
A ．16
B ．15
C ．13
D ．12
3．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y
+
+=--，错误!未找到引用源。

则x y +的可能的值有 （ C ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4．用1g 、3g 、6g 、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平
两端均可放置砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为 （ C ）
A ．21
B ．20
C ．31
D ．30
5．已知实数,,x y z 满足1()2
x y z =++，则xyz 的值为 （ A ）
A ．6
B ．4
C ．3
D ．不确定
6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，M 为三角形内一点，过点M 作三边的平行
线，交各边于D 、E 、F 、G 、P 、Q （如图），如果DE FG PQ x ===，则x ＝ （ D ）
A ．1813
B ．2013
C ．2213
D ．2413 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝
1-．
2．使得不等式981715
n n k <<+错误!未找到引用源。

对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 144 ．
3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD
与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则PAC ∠=48︒．
4．已知n 为正整数，且432261225n n n n ++++为完全平方数，则n ＝ 8 ．
第二试
一、（本题满分20分）设b 为正整数，a 为实数，记221145224M a ab b a b =-++-+，在,a b 变动的情况下，求M 可能取得的最小整数值，并求出M 取得最小整数值时,a b 的值．
解
222233(2)2(2)121(21)(1)44M a b a b b b a b b =-+-+++++
=-++++，………………5分
注意到b 为正整数，所以2319(11)44
M ≥++=，所以M 可能取得的最小整数值为5. …………
…………10分
当5M =时，223(21)(1)54a b b -++++=，故2217(21)(1)4
a b b -+++=.…………………15分 因为b 为正整数，所以2(1)b +是整数且不小于4，所以一定有12b +=，且
21(21)4a b -+=
，所以1b =，12a =或32
a =. ……………………20分 二．（本题满分25分）在直角△ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别在AC 、
BC 上，90EDF ∠=︒，已知4CE =，2AE =，32
BF CF -=，求AB . 解 延长ED 到点M ，使DM ED =，连接MB 、MF .
又因为D 为AB 的中点，所以△BDM ≌△ADE . …………5分
所以AE BM =，A ABM ∠=∠，所以AC //BM ，
所以18090CBM C ∠=︒-∠=︒，故△BMF 是直角三角
形，于是有
222BM BF MF +=. ………………
……10分
又在直角△CEF 中，有222
CE CF EF +=.
又
由90EDF ∠=︒和DM ED
=可得EF MF =， ……………………15分 于是可得222222CE CF BM BF AE BF +=+=+，
所以222212BF CF CE AE -=-=，即()()12BF CF BF CF +-=. ……………………20分 又32BF CF -=
，所以8BF CF +=，即8BC =. 因此2222268100AB AC BC =+=+=，所以10AB =. ……………………25分
三．（本题满分25分）设不全相等的非零实数,,a b c 满足2221222bc ac ab a bc b ac c ab
++=+++，求a b c ++的值. 解 由2221222bc ac ab a bc b ac c ab ++=+++得2221111222111a b c bc ac ab
++=+++. 设2
2a x bc =，22b y ac =，2
2c z ab =，则8xyz =，且
1111111
x y z ++=+++，…………………10分 通分即得(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)y z x z x y x y z ++++++++=+++，
展开后整理得2xyz x y z =+++，所以6x y z ++=. …………………15分 即222
2226a b c bc ac ab
++=，所以3333a b c abc ++=，分解因式得 222()[()()()]0a b c a b b c c a ++-+-+-=.
又,,a b c 不全相等，所以222()()()0a b b c c a -+-+-≠，故0a b c ++=. ………………25分。