2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案说明:第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知,x y 为整数,且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--,则x y +的可能的值有( C )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=,则22t xy yz zx =++的最大值为 ( A )A .47B .59C .916D .12253.在△ABC 中,AB AC =,D 为BC 的中点,BE AC ⊥于E ,交AD 于P ,已知3BP =,1PE =,则AE = ( B )A .62B .2C .3D .6 4.6张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 ( B )A .12B .25C .23D .345.设[]t 表示不超过实数t 的最大整数,令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=,则1{}{}x x+=( D )A .12B .35-C .1(35)2- D .1 6.在△ABC 中,90C ∠=︒,60A ∠=︒,1AC =,D 在BC 上,E 在AB 上,使得△A D E 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 ( A )A .423-B .23-C .1(31)2- D .31- 二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=,1111a b c b c a c a b++=+-+-+-,则abc =__0__.2.使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 144 . 3.已知P 为等腰△ABC 内一点,AB BC =,108BPC ∠=︒,D 为AC 的中点,BD 与PC 交于点E ,如果点P 为△ABE 的内心,则PAC ∠=48︒.4.已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<,111a b c ++=,2b ac =,则b = 36 .第二试 (A )一、(本题满分20分)设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=,(1)8a b b ++=,求2211a b +的值. 解 由已知条件可得222()40a b a b ++=,()8ab a b ++=.设a b x +=,ab y =,则有2240x y +=,8x y +=,……………………5分联立解得(,x y =或(,)(6,2)x y =. ……………………10分若(,)(2,6)x y =,即2a b +=,6ab =,则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根,但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<,没有实数根; ……………………15分若(,)(6,2)x y =,即6a b +=,2ab =,则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根,这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>,它有实数根.所以 2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ……………………20分二.(本题满分25分)如图,在平行四边形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,且满足ECD ACB ∠=∠, AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明:DFE AFB ∠=∠.证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知E C D A C B D A ∠=∠=∠. ……………………5分 又A 、B 、F 、 D 四点共圆,所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠,所以△ECD ∽△DAF , (15)分 所以ED CD AB DF AF AF==. ……………………20分 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠,所以△EDF ∽△BAF ,故DFE AFB ∠=∠. ……………………25分三.(本题满分25分)设n 是整数,如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-,则称n 具有性质P .在1,5,2013,2014这四个数中,哪些数具有性质P ,哪些数不具有性质P ?并说明理由.解 取1x =,0y z ==,可得33311003100=++-⨯⨯⨯,所以1具有性质P .取2x y ==,1z =,可得33352213221=++-⨯⨯⨯,所以5具有性质P .…………………5分为了一般地判断哪些数具有性质P ,记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-,则 33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+-3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++=3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++ 2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ① ……………………10分不妨设x y z ≥≥,如果1,0,1x y y z x z -=-=-=,即1,x z y z =+=,则有(,,)31f x y z z =+; 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=,即1x y z ==+,则有(,,)32f x y z z =+;F C AB DE如果1,1,2x y y z x z -=-=-=,即2,1x z y z =+=+,则有(,,)9(1)f x y z z =+; 由此可知,形如31k +或32k +或9k (k 为整数)的数都具有性质P .因此,1,5和2014都具有性质P . ……………………20分若2013具有性质P ,则存在整数,,x y z 使得32013()3()()x y z x y z x y y z z x =++-++++.注意到3|2013,从而可得33|()x y z ++,故3|()x y z ++,于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++,即9|2013,但2013=9×223+6,矛盾,所以2013不具有性质P . ……………………25分第二试 (B )一.(本题满分20分)同(A )卷第一题.二.(本题满分25分)如图,已知O 为△ABC 的外心,AB AC =,D 为△OBC 的外接圆上一点,过点A 作直线OD 的垂线,垂足为H .若7BD =,3DC =,求AH .解 延长BD 交⊙O 于点N ,延长OD 交⊙O 于点E ,由题意得NDE ODB OCB OBC CDE ∠=∠=∠=∠=∠,所以DE 为BDC ∠的平分线. ……………………5分 又点D 在⊙O 的半径OE 上,点C 、N 在⊙O 上,所以点C 、N 关于直线OE 对称,D N D =. ……………………10分延长AH 交⊙O 于点M ,因为O 为圆心,A M O D ⊥,所以点A 、M 关于直线OD 对称,A H M H =.因此MN AC AB ==.……………………15分又FNM FAB ∠=∠,FBA FMN ∠=∠,所以△ABF ≌△NMF ,所以MF BF =,FN AF =. ……………………20分因此,AM AF FM FN BF BN BD DN BD DC =+=+==+=+ 7310=+=,即210AH =,所以5AH =. ……………………25分三.(本题满分25分)设n 是整数,如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-,则称n 具有性质P . FM H EN A O B C D(1)试判断1,2,3是否具有性质P ;(2)在1,2,3,…,2013,2014这2014个连续整数中,不具有性质P 的数有多少个?解 取1x =,0y z ==,可得33311003100=++-⨯⨯⨯,所以1具有性质P ; 取1x y ==,0z =,可得33321103110=++-⨯⨯⨯,所以2具有性质P ;…………………5分若3具有性质P ,则存在整数,,x y z 使得33()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++,从而可得33|()x y z ++,故3|(x y z ++,于是有39|()3()()x y z x y z x y y z z x++-++++,即9|3,这是不可能的,所以3不具有性质P . ……………………10分(2)记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-,则33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+-3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++=3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ① ……………………15分不妨设x y z ≥≥,如果1,0,1x y y z x z -=-=-=,即1,x z y z =+=,则有(,,)31f x y z z =+; 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=,即1x y z ==+,则有(,,)32f x y z z =+;如果1,1,2x y y z x z -=-=-=,即2,1x z y z =+=+,则有(,,)9(1)f x y z z =+; 由此可知,形如31k +或32k +或9k (k 为整数)的数都具有性质P .……………………20分又若33|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++,则33|()x y z ++,从而3|()x y z ++,进而可知39|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++.综合可知:当且仅当93n k =+或96n k =+(k 为整数)时,整数n 不具有性质P . 又2014=9×223+7,所以,在1,2,3,…,2013,2014这2014个连续整数中,不具有性质P 的数共有224×2=448个. ……………………25分。