解：
A A A A 78
4 4 1 3 1 3 3 3
A 2 A A 78
5 5 4 4 3 3
练习题
1. 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种 葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法？
AA
4
2
5 5
1440
练习 （1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个 无重复数字的五位数？
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合理分类与分步策略
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例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱 歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的 节目,有多少选派方法? 解： 10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞 3人为全能演员。 以只会唱歌的5人是否
选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱 2 2 C 3C 3 的5人中没有人选上唱歌人员共有____ 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人 1 1 2 员________种,只会唱的5人中只有2人 C 5C 3C 4 CC1 1 2 选上唱歌人员有____种，由分类计数 原理共有______________________种。 C C + C 5C 3C 4 + C C
相同 点 不同 点
做一件事或完成一项工作的方法数
直接（分类）完成 间接（分步骤）完成
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1.排列和组合的区别和联系：
名称 定义 排 列 组 合
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列 从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
种数
符号 计算 公式 关系 性质
所有排列的的个数
所有组合的个数
（间接法）A
4 6
A A 240(个）
3 5 3 5
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练习题
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则 不同的选法共有_______ 34 2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这5人共有多少乘船方法.
解法二
• 老师有2种排法 • 学生有A66-2A55+A44 • 相乘得：1008
把握分类原理、分步原理是基础
例1 D 如图，某电子器件是由三个电 C 阻组成的回路,其中有6个焊接 A B 点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落， 整个电路就会不通。现发现电路不通了, 那 么焊接点脱落的可能性共有（ ） A.63种 B.64种 C.6种 D.36种
安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为 3 1 最后排其它位置共有___C1 3 A4 A4 C3 主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。 4 1 1 A3 若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的 由分步计数原理得 C3 C4 4 =288 同时还要兼顾其它条件
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解题技巧
“特殊元素、特殊位置优先安排法”
m Cn
m Cn
A
m An
m n
Anm n(n 1) (n m 1)
n! n An n ! (n m)!
m 0! 1 C n
n( n 1) ( n m 1) n! m!
ห้องสมุดไป่ตู้
m!(n m )!
0 Cn 1
A C m An nA
方法一：（排除法） A5
1 4 A5 325 275
方法二：（直接法） 2 A
4 5
A A 2 A 1 275
3 4 2 3 1 2
引申2：由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的 五位数中大于31250，小于50124的数共有多少个？ (2004 · 全国· 在由数字1，2，3，4，5组成的所有 12) 没有重复的5位数中，大于23145且小于43512的 数共有（ 58 ）个
F E
分析:由加法原理可知 C C C 63
1 6 2 6 6 6
由乘法原理可知：2×2×2×2×2×2-1=63
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练习1
（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字 且能被五整除的五位数？
分类：个位数字为5或0： 4 A5 个位数为0： 个位数为5： 4 A4 A1 3
m n m1 n1
m n
A
m m
m n C n C n m ，C nm1 Cnm C nm 1
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1、某校组织学生分4个组，每组从3处风景点 中选一处去春游,则不同的春游方案的种数是
C A. C 4 B. A4 C. 3 4 D. 4 3 2、将数字1、2、3、4 填入标号为1、2、3、4 的 四个方格里 , 每格填一个数字，则每个方格的标 号与所填的数字都不相同的填法共有（B）。
排列
基 本 原 理
排列数公式
组合数公式 组合
应 用 问 题
组合数性质
两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
分步原理
定 义
做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n个步骤， 第一类办法中有m1种不同的方法， 做第一步中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法…， 做第二步中有m2种不同的方法……， 第n类办法中有mn种不同的方法， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法 N=m1· 2· 3·…·mn 种不同的方法. m m
4 1 3 A5 A4 A4 216
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（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数 字且大于31250的五位数？
分类：
1 4 1 3 1 2 A2 A5 A3 A4 A2 A3 1 325
引申1：31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字的五位数中从小到大第几个数？
3
3
A. 6 种
B. 9种 C.11种
D.23种
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考点分析 从《考纲大纲》看：高考对这部分的要求 还是比较高的.要重视两个计数原理、排列、组 合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是：计 数模型不一定是排列或组合.画一画，数一数， 算一算，是基本的计数方法，不可废弃.
例（2001年新课程卷） 某赛季足球比赛的计分 规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负 一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考 虑顺序，该队胜、负、平的情况共有： A 3种 B 4种 C 5种 D 6种.
对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元 素，再考虑其它元素。
例2 用0，1，2，3，4这五个数，组成没 B 有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优 先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类； 1) 0排在末尾时，有 A 2 个； 4 2) 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排 1 1 1 十位有 A 2A 3A 3 个； 由分类计数原理，共有偶数 30 个.
2 2 5 5
2 2
2
2
3
3
5
5
本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。
相邻元素捆绑策略
例. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用 甲乙 丙丁 捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并
2 6
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（2）有两门特别的课，至少 选学其中的一门，有几种选法？
解法一： C C C 9
1 2 1 4 2 2
解法二： C C 9
2 6 2 4
特殊元素（或位置）优先安排
例 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车 不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上， 那么不同的停放方法有（ ） （A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种
A A 600
1 5 4 5
（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重 复数字的五位奇数？
A A A 288
1 3 1 4 3 4
（3）(2005 · 北京· 文)五个工程队承建某项工程的5 个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲 工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案 共有（ A1 A4 ）种。
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特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置
1 C3 先排末位共有___ 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最 1 C4 常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先 然后排首位共有___
4 4
（4）(2005 · 全国II · 理)在由数字0，1，2，3，4， 5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５ 整除的数共有_____________个． 192
解：不能被5整除的有两种情况：情况1、首位为5有 P41 P42 1 1 2 种，情况2、首位不是5的有 P P P 种，故在由数字 4 3 4 0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中， P41 P42 + P41 P31 P42 =192(个)． 不能被５整除的数共有