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数列经典例题

类型一:迭加法求数列通项公式
1.在数列中,,,求.
解析:∵,
当时,



将上面个式子相加得到:
∴(),
当时,符合上式
故.
总结升华:
1. 在数列中,,若为常数,则数列是等差数列;若不是一个常数,而是关于的式子,则数列不是等差数列.
2.当数列的递推公式是形如的解析式,
而的和是可求的,则可用多式累(迭)加法得.
举一反三:
【变式1】已知数列,,,求.
【答案】
【变式2】数列中,,求通项公式.
【答案】.
类型二:迭乘法求数列通项公式
2.设是首项为1的正项数列,且
,求它的通项公式.
解析:由题意

∵,∴,
∴,
∴,又,
∴当时,

当时,符合上式
∴.
总结升华:
1. 在数列中,,若为常数且
,则数列是等比数列;若不是一个常数,而是关于的式子,则数列不是等比数列.
2.若数列有形如的解析关系,而
的积是可求的,则可用多式累(迭)乘法求得.
举一反三:
【变式1】在数列中,,,求.
【答案】
【变式2】已知数列中,,
,求通项公式.
【答案】由得,∴,
∴,
∴当时,
当时,符合上式

类型三:倒数法求通项公式
3.数列中,
,,求.
思路点拨:对两边同除以得即可.
解析:∵,∴两边同除以得,
∴成等差数列,公差为d=5,首项,
∴,
∴.
总结升华:
1.两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差,右边为一常数,这样把数列的每一项都取倒数,这又构成一个新的数列,而
恰是等差数列.其通项易求,先求的通项,再求的通项.
2.若数列有形如的关系,则可在
等式两边同乘以,先求出,再求得.
举一反三:
【变式1】数列中,,,求.
【答案】
【变式2】数列中,
,,求.
【答案】.
类型四:待定系数法求通项公式
4.已知数列中,,,求.
法一:设,解得
即原式化为
设,则数列为等比数列,且

法二:∵①

由①-②得:
设,则数列为等比数列



法三:,,
,……,


总结升华:
1.一般地,对已知数列的项满足,(为常数,),则可设得,利用已知得即
,从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差,构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.
2.若数列有形如(k、b为常数)的线性
递推关系,则可用待定系数法求得.
举一反三:
【变式1】已知数列中,,求
【答案】令,则,
∴,即
∴,
∴为等比数列,且首项为,
公比,
∴,
故.
【变式2】已知数列满足,而且,求这个数列的通项公式.
【答案】∵,∴
设,则,即

∴数列是以为首项,3为公比的等比数列,
∴,∴.
∴.
类型五:和的递推关系的应用
5.已知数列中,是它的前n项和,并且
, .
(1)设,求证:数列是等比数列;
(2)设,求证:数列是等差数列;
(3)求数列的通项公式及前n项和.
解析:
(1)因为,所以
以上两式等号两边分别相减,得
即,变形得
因为,所以
由此可知,数列是公比为2的等比数列.
由,,
所以, 所以,
所以.
(2),所以
将代入得
由此可知,数列是公差为的等差数列,它的首项,
故.
(3),所以
当n≥2时,

由于也适合此公式,
故所求的前n项和公式是
.
总结升华:该题是着眼于数列间的相互关系的问题,解题时,要注意利用题设的已知条件,通过合理转换,将非等差、等比数列转化为等差、等比数列,求得问题的解决利用等差(比)数列的概念,将已知关系式进行变形,变形成能做出判断的等差或等比数列,这是数列问题中的常见策略.
举一反三:
【变式1】设数列首项为1,前n项和满足
.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)设数列的公比为,作数列,使,
,求的通项公式.
【答案】
(1),

∴,

①-②
∴,
∴是一个首项为1公比为的等比数列;
(2)

∴是一个首项为1公比为的等差比数列

【变式2】若, (),求.
【答案】当n≥2时,将代入
,
∴,
整理得
两边同除以得(常数)
∴是以为首项,公差d=2的等差数列,


∴.
【变式3】等差数列中,前n项和,若.求数列的前n项和.
【答案】∵为等差数列,公差设为,

,
∴,
∴,
若,则, ∴.
∵,
∴,∴ ,
∴,



①-②得

类型六:数列的应用题
6.在一直线上共插13面小旗,相邻两面间距离为
10m,在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短,应集中到哪一面小旗的位置上最短路程是多少?
思路点拨:本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和.
解析:设将旗集中到第x面小旗处,则
从第一面旗到第面旗处,共走路程为了,
回到第二面处再到第面处是,
回到第三面处再到第面处是,

从第面处到第面处取旗再回到第面
处的路程为,
从第面处到第面处取旗再回到第面处,路程为20×2,
总的路程为:
∵,∴时,有最小值
答:将旗集中到第7面小旗处,所走路程最短.
总结升华:本题属等差数列应用问题,应用等差数列前
项和公式,在求和后,利用二次函数求最短路程.
举一反三:
【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍,则该企业2007年年度产值的月平均增长率为()
A. B. C. D.
【答案】D;
解析:从2月份到12月份共有11个月份比基数(1月份)有产值增长,设为,

【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币,年利率为,到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税(税率为)共计元,则该人存款的本
金为()
A.万元 B.2万元 C.3万元 D.万元
【答案】B;
解析:本金利息/利率,利息利息税/税率
利息(元),
本金(元)
【变式3】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年
初开始的个月内累积的需求量(万件)近似地满足.按比例预测,在本年度内,需求量超过万件的月份是( )
A.5月、6月 B.6月、7月 C.7月、8月D.9月、10月
【答案】C;
解析:第个月份的需求量超过万件,则
解不等式,得,即.
【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元,每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元,汽车的维修费平均为第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依次成等差数列递增,问这种汽车使用多少年后报废最合算(即年平均费用最少)
【答案】设汽车使用年限为年,为使用该汽车平均费用.
当且仅当,即(年)时等到
号成立.
因此该汽车使用10年报废最合算.
【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米,计划从2007年起,每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
(1)分别求2007年底和2008年底的住房面积;
(2)求2026年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到)
【答案】
(1)2007年底的住房面积为1200(1+5%)-20=1240(万平方米),
2008年底的住房面积为1200(1+5%)2-20(1+5%)-20=1282(万平方米),
∴2007年底的住房面积为1240万平方米;
2008年底的住房面积为1282万平方米.
(2)2007年底的住房面积为[1200(1+5%)-20]万平方米,
2008年底的住房面积为[1200(1+5%)2-20(1+5%)-20]万平方米,
2009年底的住房面积为[1200(1+5%)3-20(1+5%)2-20(1+5%)-20]万平方米,
…………
2026年底的住房面积为
[1200(1+5%)20―20(1+5%)19―……―20(1+5%)―20] 万平方米

1200(1+5%)20―20(1+5%)19―20(1+5%)18―……―20(1+5%)―20
≈(万平方米),
∴2026年底的住房面积约为万平方米.。

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