一、 经典例题剖析
考点一：等差、等比数列的概念与性质
例题1.（1）数列{a n }和{b n }满足)(121n n b b b n
a +++= （n=1，2，3…）， （1）求证{
b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。

（2）数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+，探究}{n a 为等差数列的充分必要条例题2.已知数列{}n a 的首项
121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。

（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值；
（3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。

例题4. 已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2
111N n n a a a n n n n ∈≥--=--． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设21
n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）设2
)12(sin
π-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，74<n T ． 考点三：数列与不等式的联系
例题5.已知α为锐角，且12tan -=α，函数)4
2sin(2tan )(2παα+⋅+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2
111n n a f a a ==+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式；
⑵ 求证：n n a a >+1；
⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n
∈≥<++++++< 例题6已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N
*+==+∈
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n
b b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n a 是等差数列； （Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈。