高中数学：《递推数列》经典题型全面解析
类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+2
11
，求n a 。

类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为
)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 11+=+，求n a 。

例:已知31=a ，n n a n n a 2
3131
+-=+ )1(≥n ，求n a 。

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。

解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（1n n n a pa rq +=+,
其中p ，q, r 均为常数） 。

例:已知数列{}n a 中，65
1=a ,11)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。

类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，
b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征
方程是：02532=+-x x 。

32,121=
=x x ,∴1
2
11--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-⋅+=n B A 。

又由b a a a ==21,，于是 ⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩
⎪
⎨
⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B
A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++，求n a 。

类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。

(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)
2()
1(11n S S n S a n n n 与
例：已知数列{}n a 前n 项和2
214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公
式n a .
类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是
公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
【例】、已知数列}{n a 满足11=a ，)2(311≥+=--n a a n n n ，则通项公式=n a
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析
类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+2
11
，求n a 。

类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为
)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 11+=+，求n a 。

例:已知31=a ，n n a n n a 2
3131
+-=+ )1(≥n ，求n a 。

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。

解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（1n n n a pa rq +=+,
其中p ，q, r 均为常数） 。

例:已知数列{}n a 中，65
1=a ,11)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。

类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，
b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征
方程是：02532=+-x x 。

32,121=
=x x ,∴1
211--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-⋅+=n B A 。

又由b a a a ==21,，于是 ⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩
⎪
⎨
⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B
A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++，求n a 。

类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。

(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()
1(11n S S n S a n n
n 与
例：已知数列{}n a 前n 项和2
2
14---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公
式n a .
类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是
公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
【例】、已知数列}{n a 满足11=a ，)2(311≥+=--n a a n n n ，则通项公式=n a。