一元二次方程专题一：一元二次方程的定义典例分析：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．2±=mB ．m=2C ．2-≠mD ．2±≠m3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。

则a 的值为( )A 、 1B 、－lC 、 1 或－1D 、 124、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

5、关于x 的方程0)2(22=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（ ）A 、a ≠1B 、a ≠－2C 、a ≠1且a ≠－2D 、a ≠1或a ≠－2专题二：一元二次方程的解典例分析：1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。

5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -课堂练习：1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根．3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

专题三：一元二次方程的求解方法典例分析：一、直接开平方法();0912=--x二、配方法．难度训练：1、如果二次三项式16)122++-x m x （是一个完全平方式，那么m 的值是_______________.2、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

4、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

三、公式法1、0822=--x x2、01522=+-x x四、因式分解法1、x x 22=2、0)32()1(22=--+x x3、0862=+-x x五、整体思维法例：()()=+=-+-+2222222,06b 则a b ab a 。

变式1：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。

变式2：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为 。

变式3：已知5)3)(1(2222=-+++y x y x ，则22y x +的值等于 。

专题四：一元二次方程中的代换思想（降次）典例分析：1、已知0232=+-x x ，求代数式()11123-+--x x x 的值。

2、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。

3、已知βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .4、已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。

专题五：根的判别式典例分析：1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

2、关于X 的方程0162=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A 、k ＞9B 、k ＜9且k ≠0C 、k ＜9D 、k ≤9且k ≠0 3、关于x 的一元二次方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )A.10≠≥且m mB.0≥mC.1≠mD.1>m 4、对于任意实数m ，关于x 的方程一定（ ）A. 有两个正的实数根B. 有两个负的实数根C. 有一个正实数根、一个负实数根D. 没有实数根课堂练习：1、已知关于x 的方程02)12(22=++++m x m x 有两个不等实根，试判断直线x m y )32(-=74+-m 能否通过A （－2，4），并说明理由。

2、若关于x 的方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值是 。

3、已知关于x 的方程有两个相等的正实数根，则k 的值是（ ） A.B.C. 2或D.4、已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且关于x 的一元二次方程()()()04322=---++c a x c a x b c 有两个相等的实数根，那么这个三角形是 。

5、如果关于x 的方程()05222=+++-m x m mx 没有实数根，那么关于x 的方程()()02252=++--m x m x m 的实根个数是 。

6、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。

专题六：根与系数的关系（韦达定理）典例分析：一、常见变形1、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．2、以71+与71-为根的一元二次方程是（）A ．0622=--x xB ．0622=+-x xC ．0622=-+y yD ．0622=++y y3、甲、乙两人同解一个一元二次方程，甲看错常数项，解得两根为8和2，乙看错一次项系数，解得两根为-9和-1，则这个方程是4、已知m 、n 是方程0719992=++x x 的两个根，则=++++)82000)(61998(22n n m m （ ） A 、1990 B 、1992 C 、-1992 D 、19995、方程02x 5x 2=+-与方程06x 2x 2=++的所有实数根的和为___________.6、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。

7、设方程0m x 5x 32=+-的两根分别为21x ,x ，且0x x 621=+，那么m 的值等于（ ） A.32-B.—2C.92D.—928、设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．9、若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．10、已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或特殊技巧：1、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则abb a +的值为 。

变式：已知实数a 、b 满足b b a a 22,2222-=-=，且a ≠b ，求abb a +的值。

变式：若ab ≠1,且有0520119092011522=++=++b b a a ，求ba 的值。

变式：若实数a 、b 满足0582=+-a a ，0582=+-b b ，则1111--+--b a a b 的值是（ ）A 、－20B 、2C 、2或－20D 、21大题突破：1、已知一元二次方程（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设是方程的两个实数根，且满足，求m 的值。

2、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ， （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不 存在，请说明理由。

3、已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 4、已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值． 5、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．6、已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．巩固提高：1、（2010•南充）关于x 的一元二次方程230x x k --=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围．（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根． 2、（2011•南充）关于的一元二次方程x 2+2x +k +1=0的实数解是x 1和x 2. （1）求k 的取值范围；（2）如果x 1+x 2-x 1x 2＜-1且k 为整数，求k 的值。

3、（2012•南充）关于x 的一元二次方程x 2+3x+m ﹣1=0的两个实数根分别为x 1，x 2． （1）求m 的取值范围；（2）若2（x 1+x 2）+x 1x 2+10=0，求m 的值．4、（2013四川南充，20，8分）关于x 的一元二次方程为（ｍ－1）x 2－2ｍx ＋ｍ＋1＝0 （1）求出方程的根；（2）ｍ为何整数时，此方程的两个根都为正整数？根．（1）求实数m 的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是x 1，x 2，求代数式x 12+x 22-x 1x 2的值．6、已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123320x x x x ---=.求242(1)4a a a++⋅-的值。

7、已知关于x 的方程()0132=++-kx x k 。