浙江省金丽衢十二校2021-2022学年高三上学期期末第一次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}13,5A =,，{}2,4,5,6B =，则()UA B =（ ）A ．{}1,3B ．{}1C ．{}3D ．{}1,3,52．设()13i i z =+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．实数x ，y 满足条件220,2360,0,x y x y x ++≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩则23z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]6,0-B ．[]0,6C ．[)0,∞+D ．[)6,+∞4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：2cm ）是（ ）AB ．76C ．1D ．235．过点()2,1-的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y ++=的距离为（ ） ABCD6．设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，且513S S =，6140a a +<，则使得0n S <的正整数n 的最小值为（ ）7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“C ∠是锐角”是“()2222c a b <+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知二次函数()2f x ax bx c =++，设()()e xg x f x -⋅=，若函数()g x 的导函数()g x '的图像如图所示，则（ ）A ．a b <，b c <B ．a b >，b c >C ．1ba >，bc = D ．1ba<，b c = 9．当实数m 变化时，不在任何直线()2241220mx m y m +---=上的所有点(),x y 形成的轨迹边界曲线是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线10．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ） A ．若12θθ=，则AC BC = B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ= 二、填空题11．若双曲线221y x a-=，则实数a 的值为______．12．甲、乙2人各投篮1次，投进的概率分别是23，14，则2人中恰有1人投进的概率为______．13．已知函数()2ln f x x x a =--．若存在实数a ，使得集合()t x f x a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭中的元素至少有2个，则实数t 的最小值为______．14．平面向量a ，b ，c 满足1a a b c =-==，()222b ac b c b a c +⋅+-=⋅+，1a b b a b b cb⋅+=+⋅，则()2b c-=______．三、双空题15．杨辉三角在我国最早由贾宪在《释锁算术》中提出，后来南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》中进行了详细说明．杨辉三角中的三角形数表，是自然界和谐统一的体现．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列.其中蕴含着二项式系数的性质，例如递推性质11i i in nnCCC -+=+．在62x ⎫⎪⎭的展开式中，第三项和第四项的二项式系数和为______，常数项为______．16．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知22sin cos 212A B C +-=，则角C =______；若b a -，2c，b a +成等比数列，则sin sin B A =______．17．随机变量ξ的分布列如下表，其中1142p ≤≤．当p =______时，()E ξ取最大值；当p =______时，()D ξ有最大值．四、解答题18．设()0,2a π∈，将奇函数()()sin f x x a =+图象向左平移6π个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像． (1)求a 的值及函数()g x 的解析式；(2)设()()()22F x f x g x =+⎡⎤⎣⎦，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()F x 的值域． 19．在三棱台111ABC A B C -中，8AC =，6BC =，AC BC ⊥，点H 在棱AC 上，且满足1B H AC ⊥，3CH =，1B H =145B BC ∠=︒．(1)求证：11B C ⊥平面1AB C ；(2)求1B C 与平面11AA B 所成角的正弦值．20．已知各项为正的数列{}n a 满足：113a =，()*134N n n n a a n a +=∈+． (1)设0a >，若数列1log 1a n a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪+⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是公差为2的等差数列，求a 的值； (2)设数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明4543n S n ≤<+．21．如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过点()4,0A 的直线l 与抛物线交于两个不同的点M ，N （M 是第一象限点），MN 的垂直平分线交抛物线于P ，Q ．当直线l的斜率为时，3MF =．(1)求抛物线的方程；(2)若1p >，求PQ 的最小值．22．已知*N n ∈，函数()()2e xf x n x -=-，()1nx g x n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)若8n =，求函数()f x 的极值；(2)当(],x n ∈-∞时，求证：()()f x g x ≤．参考答案：1．A 【解析】 【分析】利用补集和交集的定义可求得集合()U A B ∩. 【详解】 由已知可得{}1,3,7UB =，因此，(){}1,3UAB =.故选：A. 2．B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简复数的代数式即可. 【详解】因为()213i i 3i i=-3i z =+=++ ，故在复平面内z 对应的点()3,1-位于第二象限，故B 正确.故选：B 3．C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，由目标函数的几何意义可得选项． 【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由2++2023+60x y x y =⎧⎨-=⎩，解得312A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，目标函数化为2+33z y x =-，当目标函数过点A 时，z 取得最小值min 323102z ⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，所以23z x y =+的取值范围是[)0,∞+， 故选：C ． 4．D 【解析】 【分析】先在长方体模型中，根据三视图作出几何体的原图，再将几何体补成三棱柱，分别求得三棱柱与四棱锥的体积，作差即可. 【详解】在长方体模型中，根据三视图作出几何体的原图ABDCEF ，且=2AB DC EF ，==1DF CE ，将几何体补成三棱柱AHG BNM -如图：则几何体ABDCEF 的体积=AHG BNM A HCEG B DFMN V V V V -----，且AH =1HG =，HN =1=12AHG BNM V -⨯，由对称性可得1111336A HCEGB DFMN DFMN V V S BN --==⨯⨯==四边形，所以几何体ABDCEF 的体积112=1=663V --，故选：D 5．B 【解析】 【分析】先根据圆与x ，y 轴都相切，求出圆心，然后利用点到直线的距离公式求出结果． 【详解】设圆心为(,)a b，由已知得0,0a b a b a⎧><⎪⎪=-⎨，解得1a =，1b =-，或5a =，5b =-， 所以圆心为(1,1)-或(5,5)-．当圆心为(1,1)-时，圆心到直线230x y ++=的距离d ==； 当圆心为(5,5)-时，圆心到直线230x y ++=的距离d 故选：B ． 6．D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及已知分别判断17S 、18S 、19S 的符号即可. 【详解】由513S S =，得6712130a a a a ++++=，因为{}n a 是等差数列，所以6130a a +=，6141020a a a +=<，100a <，6146130a a a a d d +=++=<，961261261320a a a a a d a a =+>++=+=，90a >， 所以()1911910191902S a a a =+=<， ()()1811861318902S a a a a =+=+= ()171179171702S a a a =+=> 使得0n S <的正整数n 的最小值为19. 故选: D. 7．A 【解析】 【分析】根据C ∠为锐角和余弦定理可得222c a b <+，进而可得22222()a b a b +<+；根据2222()c a b <+和22222()a b a b +<+无法判断2c 与22a b +的大小关系，结合充分不必要条件的定义即可得出结果. 【详解】当C ∠为锐角时，cos 0C >，由余弦定理，得222cos 02a b c C ab+-=>， 有2220a b c +->，即222c a b <+，又22222()a b a b +<+，所以2222()c a b <+，故“C ∠为锐角”是“2222()c a b <+”的充分条件；当2222()c a b <+时，22222()a b a b +<+，无法确定2c 与22a b +的大小关系，若222c a b ≥+，则222cos 02a b c C ab+-=≤，此时C ∠不为锐角， 所以根据“2222()c a b <+”无法推出“C ∠为锐角”.故“C ∠为锐角”是“2222()c a b <+”的充分不必要条件.故选：A 8．D 【解析】 【分析】求出函数()g x '，再根据给定图象与x 轴交点横坐标即可计算判断作答. 【详解】依题意，()2e ()x g x ax bx c -=++，求导得2()e ()e (2)x x g x ax bx c ax b --'=-++++2[(2)]e x ax a b x c b ---+-=-，观察()g x '的图像得：()00g c b '=-=，即b c =，()g x '的另一个零点为221a b b a a -=->，即1ba <， 所以有1ba<，b c =. 故选：D 9．B 【解析】 【分析】 将直线()2241220mx my m+---=看作是关于m 的一元二次方程，根据题意知，该方程无解时的(),x y 就是不在任何直线()2241220mx m y m +---=上的所有点(),x y 形成的轨迹，然后根据判别式建立不等式即可 【详解】()2241220mx m y m +---=可化简为：()22420y m xm y +-+-=则有：()()2164220x y y ∆=-+-<化简可得：2214y x +< 故轨迹边界曲线是：2214y x += 则不在任何直线()2241220mx m y m +---=上的所有点(),x y 形成的轨迹边界曲线是椭圆.故选：B10．C 【解析】 【分析】对选项A ，先找到二面角的平面角，再根据边角关系证明PAO 与PBO 全等，然后根据直线OC 垂直并平分线段AB 即可判断AC BC =；对选项B ，找到角的关系PAM PAO MAO ∠=∠-∠和PBM PBO MBO ∠=∠-∠，然后分别运用正切的两角差公式解得212OM OA OB =⋅即可；对选项C 和D ，均是先根据PAM PAO MAO ∠=∠-∠运用正切的两角差公式，然后通过换元得到一个一元二次方程，然后根据判别式即可判断. 【详解】如图所示，连接延长AO 交BC 与F ，连接延长BO 交AC 与G ，设平面ABC 平面l α顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O ，//BC 平面α，平面ABC 平面l α则有：直线BC 与l 平行 又AO BC ⊥，则AO l ⊥PO ⊥平面ABC ，则PO BC ⊥又AO BC ⊥ 则BC ⊥平面PAO 从而PA l ⊥故MAO ∠为α与平面ABC 的二面角，即1MAO θ∠=同理可得：2MBO θ∠=对选项A ，PAM PBM θ∠=∠=，又12θθ=，则有：PAO PBO ∠=∠ 可得：PAO 与PBO 全等，则AO OB = 又根据O 是ABC 的垂心，则，OC AB ⊥ 综上可得：直线OC 垂直并平分线段AB 可得：AC BC =，故选项A 正确； 对选项B ，易知有如下角关系：PAM PAO MAO ∠=∠-∠ PBM PBO MBO ∠=∠-∠又PAM PBM θ∠=∠=，则有：tan tan PAM PBM ∠=∠tan tan tan 1tan tan PAO MAOPAM PAO MAO ∠-∠∠=+∠⋅∠tan tan tan 1tan tan PBO MBOPBM PBO MBO∠-∠∠=+∠⋅∠可得：2211OP OM OP OMOA OA OB OB OP OM OP OM OA OB --=⋅⋅++ 解得：212OM OA OB =⋅ 则2121tan tan 2OM OA OB θθ⋅==⋅，故选项B 正确； 对选项C ，若6πθ=，则有：tan tan tan 1tan tan PAO MAO PAM PAO MAO ∠-∠∠=+∠⋅∠则有：222OM OA OM OA ⋅=+化简后可得：2210OM OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭令OMt OA=，则有：2210t += 则有：3850∆=-=-<，此时方程无解，故选项C 错误； 对选项D ，设tan a θ=（0a >），则有：222OM OAa OM OA ⋅=+可化简为：220OM OMa a OA OA ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭令OMx OA=，则有：220ax x a -+= 则有：2180a ∆=-≥解得： 0a <≤故θ取得最大值时，tan θ=，此时1tan OM OA θ==同理可得：2tan OM OB θ==故12tan tan θθ=，且12,0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则有：12θθ=，故选项D 正确； 故选：C 【点睛】二面角的问题，常见的有两种方法：一是通过二面角的定义作二面角的平面角；二是通过空间向量的方法，这两种方法需要灵活选择，如果选择不当，则很可能会大大增加计算量，本题不宜采用空间向量法 11．1 【解析】 【分析】由离心率公式，解方程可得a 的值． 【详解】双曲线221y x a-=可得e =解得1a =， 故答案为：1． 12．712【解析】 【分析】设事件A 表示“甲投进”，B 表示“乙投进”，利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式能求出结果． 【详解】设事件A 表示“甲投进”，B 表示“乙投进”， 则P （A ）23=，P （B ）14=，2∴人中恰有1人投进的概率：()()P AB P AB +212111(1)(1)3434217122=⨯-+-⨯=+=． 故答案为：712． 13．2e -##2e-【解析】 【分析】将问题转化为函数()y f x =与ty a=的图象至少有2个交点，然后讨论函数()y f x =的单调性和极值，进而求得答案. 【详解】问题可以转化为函数()y f x =与ty a=的图象至少有2个交点. 由题意，()()()2ln ,e ,2ln 2ln ,0e .aa x x a x t f x x x a x x a x a ⎧--≥⎪=---=⎨+-<<⎪⎩当[e ,)a x ∈+∞时，则()1212x f x x x -'=-=，若1e ln 22a a ≥⇒≥-，则()0f x '≥，()f x 单调递增；若1e ln 22a a <⇒<-，则1[e ,]2a x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.当()0,e ax ∈时，则()f x 单调递增（增+增）.于是，（1）当ln 2a ≥-时，()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()y f x =与ty a=的图象至多只有1个交点，不合题意；（2）当ln 2a <-时，()f x 在()0,e a上单调递增，在1e ,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，e a x =时，函数取得极大值为()e 2e a af =，12x =时，函数取得极小值为11ln 22f a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.限定10e e 2a a x ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭，()()()2ln 2ln e 2af x x x a x a x =+-<+-=，则当0e a x <<且1ln 22a x ++<时，()122f x x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.限定12x >，()()2ln f x x x a =--，设()ln g x x x =-，()11g x x'=-，()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()110ln g x g x x ==>⇒>，所以，()()2ln f x x x a x a =-->+.于是，12x >且2e a x a >-时，()()e af x f >.故当1ln 22e a ta a++≤≤时，函数()y f x =与t y a =的图象至少有2个交点，此时()2e 1ln 2a a t a a ≤≤++.设()()2e ln 2a h a a a =<-，()()2e 1ah a a '=+，(),1a ∞∈--时，()0h a '<，()h a 单调递减，()1,ln 2a ∈--时，()0h a '>，()h a 单调递增，所以()()min 21eh a h =-=-，于是t 的最小值为：2e-. 故答案为：2e-. 【点睛】首先将问题转化为两个函数图象的交点个数问题，在第（2）步求出函数的单调区间和极值后一定要注意，必须要说明在12x =的左侧是否存在比极小值12f ⎛⎫⎪⎝⎭更小的值，在e a x =的右侧是否存在比极大值()e af 更大的值，进而才能解决问题.14．2##2 【解析】 【分析】数形结合，利用题干条件及正余弦定理求出答案. 【详解】 ()222b ac b c b a c +⋅+-=⋅+可变形为()222b a c b a c b c +⋅-⋅+=--，即()()22b a bc b c -⋅-=--，如图，两圆为半径为1的圆，则()()2cos 2b a bc b a b c CBA b c -⋅-=-⋅-∠=--，从而3π4CBA ∠=-，设,a b α=，,c b β=，21cos 122cos cos a b b a b b cb ααβ⋅+⎛⎫+=+⇒=+ ⎪⋅⎝⎭，解得：22cos cos2αβ=，所以2αβ=， 在△AOC 中，由余弦定理得：()()2112cos 22cos AC αβαβ=+-+=-+，在三角形BAC中，2223π12cos14AC BC BC BC =+-⋅=+，从而()222cos 1BC αβ-+=+，即()2312cos 12cos2BC ααβ=-+=-， 因为OA AB =，所以OBA AOB α∠=∠=，所以3π4OBC α∠=-，3ππππ424OCB OBC αβαβ∠=-∠-=-+-=+，在△OBC 中，由正弦定理得：sin sin OB OCOCB OBC =∠∠，即1π3πsin sin 244OB αα=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在三角形OAB 中，由正弦定理得：sin sin OB AB OAB AOB =∠∠，即()1sin π2sin OB αα=-，1sin 2sin OB αα=，从而πsin sin 2243πsin sin 4αααα⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得：cos 2sin 2cos sin 122αααα+=+-，解得：π3α=，所以23π12cos 12cos122BC α=-=-=，解得：0BC =>或0BC =<（舍去），故()222b c CB -==故答案为：2【点睛】向量相关的压轴题，往往需要数形结合进行求解，作出图象，结合题干条件及解三角形的相关定理进行求解. 15． 35 60； 【解析】 【分析】根据二项式定理可知第三项和第四项的二项式系数分别为26C ，36C ，从而可求出答案； 根据二项式定理的通项公式可求出常数项. 【详解】在62x ⎫⎪⎭的展开式中，第三项的二项式系数为2615C =，第四项的二项式系数为3620C =，所以第三项和第四项的二项式系数和35；()363216622,0,1,,6rrr r rr r T C C x r x --+⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭…， 令3302r -=，得2r =，所以()22026241560T C x =-=⨯=， 所以常数项为60. 故答案为：35；60.16． 120°##23π； 【解析】 【分析】（1）将22sincos 212A BC +-=利用二倍角公式化简整理，得 2cos 2cos 10C C -+=，解出cos C ，求得答案‘（2）根据b a -，2c，b a +成等比数列，得到2224c b a =-，再结合余弦定理，得到关系式2235b a ab -=，利用正弦定理边化为角，进而求得答案.【详解】 由22sincos 212A B C +-=得：22sin cos 212C C π--=, 即22cos1cos 202CC --=，2cos 2cos 10C C -+=， 解得1cos 2C =- 或cos 1C =（舍去），所以120C = ；由b a -，2c，b a +成等比数列得：2224c b a =- ，又2221cos 22a b c C ab +-==- ,即222c a b ab --=,整理得222244b a a b ab ---=，即2235b a ab -=， 所以223sin 5sin sin sin B A A B -=,所以223sin sin 50sin sin B B A A --=,解得sin sin B A =, 而sin 0,sin 0A B >> ,故sin sin B A =， 故答案为：12017． 14##0.25 13【解析】 【分析】求出()E ξ、()D ξ的表达式，利用一次函数和二次函数的基本性质可求得结果. 【详解】由题意可得()1281232333E p p p ξ⎛⎫=⨯+⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭，故当14p =时，()E ξ取最大值；()2228182812223233333D p p p p p ξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--+⨯--+-⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦282439p p =-++， 故当()813243p =-=⨯-时，()D ξ取最大值.故答案为：14；13.18．(1)a π=，()sin 26g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)512⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质，确定a 的值，再根据图象变换的规律，确定()g x 的解析式； （2）先写出()()()22F x f x g x =+⎡⎤⎣⎦具体的解析式，利用三角恒等变换化简到最简，根据角的范围，确定函数的值域. (1)因为()f x 是奇函数，且在0x =处有定义， 可知()0sin 0f α==，得到()a k k π=∈Z ， 因为()0,2a π∈，所以a π=，由()()sin f x x a =+图象向左平移6π个单位得到πsin 6y x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，可得()sin 2sin 266g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)由（1）可得：()212sin sin 21cos 22cos 262F x x x x x x π⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭32cos 212123x x x π⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，△42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，△sin 23x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，△()512F x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.19．(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明BC ⊥平面1AB C ，进而根据11BC B C ∥即可证明；（2）结合（1）得1,,CA CB HB 两两垂直，进而建立空间直角坐标系，再结合平面11AA B 与平面1ABB 为同一个平面将问题转化为求平面1ABB 的一个法向量，再根据向量求解即可. (1)证明：因为1B H AC ⊥，3CH =，1B H =所以在1Rt B HC △中，16B C =． 又因为145B BC ∠=︒，16B C BC ==， 所以1BC B C ⊥．又因为BC AC ⊥，1AC B C C ⋂=， 所以BC ⊥平面1AB C ，因为在三棱台111ABC A B C -中，11BC B C ∥， 所以11B C ⊥平面1AB C ； (2)解：结合（1）得1BC B H ⊥，所以1,,CA CB HB 两两垂直，故以C 为原点，,CA CB 方向分别为,x y 轴，过C 且与1HB 平行的直线为z 轴，如图，建立空间直角坐标系，所以(()()1,8,0,0,0,6,0B A B ，所以(1CB =，因为平面11AA B 与平面1ABB 为同一个平面， 所以()8,6,0BA =-，(13,BB =-， 设平面11AA B 的法向量为(),,n x y z =，所以43020x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，故令5z =，则x y ==所以平面11AA B 的一个法向量()33,4n =， 设1B C 与平面11AA B 所成角为θ，所以11124sin cos ,6CB n CB n CB nθ⋅====⨯ 所以1B C 与平面11AA B20．(1)2 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列的定义，将已知递推关系进行变形取对，再由已知公差可得所求；（2）由题意得到1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由于各项均为正，可证得15n S S ≥=，再将数列通项进行放缩为可求和的等比数列，求和证明. (1) 因为()*134N n n n a a n a +=∈+，所以111141n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭等式两边同时取以a 为底的对数可得111log 1log 1log 4a a a n n a a +⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()*N n ∈ 又数列1log 1a n a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪+⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是公差为2的等差数列可知log 42a =，即2a = (2)由（1）可知数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为4的等比数列，可得11111414n n n a a -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，可得数列{}n a 的通项公式为()*1N 14n n a n =∈-记1n n n a b a +=可求得其通项公式为()1*4141N n n n b n +-=∈- 显然{}n b 为正项数列，因此()11*N 5n S S b n ≥==∈另一方面，构造数列{}n c 满足()*N 4n n c b n =-∈可得其通项公式为()*1N 34n nc n =∈- 注意到1113134414n n n n c ---⎛⎫=≤ ⎪⋅+-⎝⎭，记{}n c 的前n 项和为n T ，可得11441314n n T -≤<-， 而由于4n n c b =-，因此()*4N n n T S n n =-∈，从而443n S n <+， 综上所述，4543n S n ≤<+.21．(1)24y =或243y x =(2)min PQ =【解析】 【分析】（1）设点M 的坐标为()11,x y，由已知条件列出方程组2111112324y pxp x y x ⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪-⎩，解方程组即可得到答案；（2）设直线l 的方程为4x my =+及其点()11,M x y ，()22,N x y ，将点()11,M x y ，()22,N x y 代入抛物线方程作差，即可得到1214m y y =+，由此可以求得故MN 中点坐标为()224,2mm +，设出PQ 方程为()()21242x m y m m-+=--，与抛物线的方程联立得到关于y 的一元二次方程，利用弦长公式求出PQ ，最后用导数求其最值即可.(1)设点M 的坐标为()11,x y，根据题意可列出方程组2111112324y pxp x y x ⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪-⎩，可解得2p =或23p =因此可得到抛物线方程为24y =或243y x =(2)由于1p >，可知抛物线方程为24y x =，设直线l 的方程为4x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ,即2114y x =和2224y x =，两式相减为1212124y y x x y y -=-+，即1214m y y =+， 则1222y y m +=，12212244422x x y my m m ++=++=+ 故MN 中点坐标为()224,2m m +， 设PQ 方程为()()21242x m y m m-+=--，()33,P x y ，()44,Q x y , 联立()()2241242y xx m y m m ⎧=⎪⎨-+=--⎪⎩得2248240y y m m +--=， ()221=230m m ∆++>，即20m >，由韦达定理可知342344824y y m y y m ⎧+=-⎪⎨⎪=--⎩，于是可得34PQ y y =-= 令2t m =，并记()27128f t t t t =+++()0t > ，求导函数得()23722f t t t'=--，令()0f t '=，解得导函数零点为2t =，且导函数在()0,∞+上单调递增，因此导函数在()0,2上恒为负，在()2,+∞上恒为正，可知原函数在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，则在2t =处取得最小值， 则()()min 6324f t f ==，即min PQ = 22．(1)极大值为()224e f -=，极小值为()484e f =-(2)证明见解析【解析】 【分析】(1)利用导数的几何性质，确定函数的单调性，然后就可以计算极值；(2)作差比较，由于e 0x > ，令()()()e xF x g x f x =-⎡⎤⎣⎦，构造一个新函数，再利用导数判断单调性，通过多次构造后，得到()0F x ≥. (1)因为()()2e xf x n x -=- ，所以()()2222e ee xxxx x nf x x n x ----'=---=， 当8n =时，()()()42e xx x f x -+'=，令0fx 得2x =-或4x =，当()(),24,x ∈-∞-+∞时，0fx；当()2,4x ∈-时，0fx ．故函数()f x 的增区间为(),2-∞-，()4,+∞，减区间为()2,4-，所以函数()f x 的极大值为()224e f -=，极小值为()484e f =-； (2)令()()()()2e 1e nxx x F x g x f x n x n n ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，只需证明当(],x n ∈-∞时，()0F x ≥即可．求导得()12e 1n x x F x x n -⎡⎤⎛⎫'=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．下面对n 分类讨论：△当1n =时，有()()21e 1x F x x x =-+-，()()2e x F x x '=-，()F x 在(),0-∞递减，在()0,ln 2递增，在(]ln 2,1递减．又因为()()010F F ==，所以()0F x ≥得证． △当2n ≥时，令()1e 1n xx G x n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导得()21e 1n xx x G x n n --⎛⎫'=⋅- ⎪⎝⎭，所以()G x 在(),1-∞递增，在()1,+∞递减．于是有()()1max11e 1n G x G n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭．我们令()ln 1x x x ϕ=-+，则()11x xϕ'=-，所以()()max 10x ϕϕ==， 即()0x ϕ≤恒成立．于是可以得到11ln 1n n ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，进而有1e 1n n -⎛⎫<- ⎪⎝⎭，代入()1G 可得到()11111e 1121n n G n n n --⎛⎫⎛⎫=-<-=≤ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，即当2n ≥时()2G x ≤恒成立．于是，()()12e 12n x x F x x x G x n -⎡⎤⎛⎫'=--=-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，在(),0-∞上，()0F x '<，故()F x 在(),0-∞上单调递减；在()0,+∞上，()0F x '>，故()F x 在()0,+∞上单调递增，所以()()00F x F ≥=．综合△△可知，原命题得证！。