三角函数的单调性1三角函数的单调性一般是解答题的一个小问,这里必须先对所给题进行化简,化为y=Asin(wx+b)的形式,然后利用y=sinx的单调区间进行求解一定要记住y=sinx或y=cosx的单调区间三角函数求值域.最值和单调性的方法??设y=Asin(φx+b)+c题中一般不会给出你说的那个形式,这要你先化简。
在R上的最值为A+C。
在闭区间内的最值求法,一般是先找出函数的周期,若闭区间包含的范围大于1个周期,则最大值和最小值直接写就是,若闭区间包含的范围小于1个周期,则可根据信息画出草图观察。
不懂再追问。
三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间(-90o,90o)的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z);4. cot(kπ+α)=(-1)kc otα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题,运用三角“八卦图”1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方(或下方);2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方(或下方);3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.三、见“知1求5”问题,造Rt△,用勾股定理,熟记常用勾股数(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),仍然注意“符号看象限”。
四、见“切割”问题,转换成“弦”的问题。
五、“见齐思弦”=>“化弦为一”:已知tanα,求sinα与cosα的齐次式,有些整式情形还可以视其分母为1,转化为sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式:1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题,起用平方法则:(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题,启用变形公式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=九、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:(A≠0)1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于其中间零点分别成中心对称;3.同样,利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
十、见“求最值、值域”问题,启用有界性,或者辅助角公式:1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.十一、见“高次”,用降幂,见“复角”,用转化.1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等.从几个方面探讨三角函数问题的解题方法与技巧摘要:三角函数是高中部分的一个重难点,其内容抽象,公式繁多,技巧性强,学生不易理解,掌握。
探讨一下这类问题的常见错误和一般解法是非常必要的。
本文列举了解决这类问题的常见错误和解决技巧,以及三角函数求最值及值域的几种方法。
关键词:三角函数错解值域最值高中将角的概念进行推广,在直角三角形中来讨论,引入正负零角,引入弧度制,进而讨论三角问题,整个这一章可分为角的概念,角的换算,诱导公式,二倍角及函数图象等几部分,但与三角函数相关的知识却非常广泛,如求值域,求最值,含三角知识的应用题等,这些知识都比较难以理解,且容易出错,下面我们来逐步探讨一下这类问题的特点及解法。
一,三角函数问题常见错误解析:由于三角函数的性质和公式较多,变换灵活,一题多解是常有的事,正因为解题途径呈开放性,有时思维误入歧途就不容易察觉,导致误解的原因也因题而异。
忽视定义域三角恒等变换必须使涉及的各个三角函数有意义,给定的任意角的范围不被改变,对切与割两类函数尤其需要重视定义域的考察,否则易造成错解。
[1]例1:求函数y=sinx[1+tgxtg(x/2)]的递增区间。
解:sinx[1+tgxtg(x/2)]=sinx = =tgx所以原函数可化为y=tgx,故递减区间为(k - /2, k + /2)致误分析:忽视了函数式中tgxtg(x/2)有意义的x的取值范围,即x≠k + /2 ,x≠2k + (k z) 由此可知递增区间为:(2k - /2,2k + /2)∪(2k + /2,2k + )∪(2k + ,2k +3/2 )(k z) 2,忽视单调性已知部分三角函数值,求某一区间上的角,若不注意用三角形的单调性,则容易增解,如下例:例2:已知cos =1/7, cos( + )=- ,且(0,/2),+ (/2,),求解:因为0<( + )+(- )< , 所以(0,),又有sin =sin[( + )+(- )]=sin( + )2cos -cos( + )2sin = 21/7+ 2= 所以= /3 或=2 /3。
致误分析:(0,)时sin 不是单调函数,由sin = 求角还须进一步讨论范围,因为(0,)时cos 是单调函数,所以取余弦函数求角是合理的,因为cos =cos[( + )+(- )]=1/2, 所以= /3。
3,忽视特殊值有些涉及三角函数值域,参变数取值范围的问题,应注意对区间端点,最值点,零点(即图象与x轴交点)等特殊值进行讨论,以免因一点一值酿成错误,如下例:例3:已知方程sinx+ cosx+a=0在区间(0,2 )上有且只有两个不同的实根,求实数a的取值范围。
解:因为原方程可化为sin(x+ /3)=-a/2, x (0,2 )当sin(x+ /3)= 1时,只有唯一解,所以-a/2 1,即-1<-a/2<1时,得a (-2, 2).致误分析:对区间端点分析不够,因为sin(0+ /3)=sin(2 + /3)=sin( /3+ /3)= ,所以当-a/2= 时,方程有三个解0,2 ,/3 (0,2 ),故a的取值范围为(-2, - )∪(- , 2)4, 忽视隐含条件有些三角函数问题隐含着重要的条件,必须发现和利用,才能正确解答,如下例:例4:已知sin =(x-3)/(x+5) , cos =(4-2x)/(x+5), 试问x取何值时,所在象限中sin ,cos 都是减函数。
解:由sin ,cos 都是减函数知2k+ /2< <2k + (k z)所以sin >0, cos <0, 由此得x的不等式组:0<(x-3)/(x+5)<1 和-1〈(4-2x)/(x+5)〈0 解之得3<x<9< bdsfid="131" p=""></x<9<>致误分析:对隐含条件sin2 +cos2 =1还须应用,即〔(x-3)/(x+5)〕2+〔(4-2x)/(x+5)〕2=1 解之得x=0或x=8 ,应舍去x=0 ,故x=8即为所求注:为简化运算起见,本题可先解出x=0或8,代入sin ,cos 中检验是否满足题意。
5,忽视图象变换顺序《代数》上册第143页指出:一般地,函数y=Asin( x+ ) (A>0 , >0) x r的图象可看作用下面的方法得到:先把y=sinx的图象上所有的点向左(>0)或向右(<0)平行移动个单位,再把所得各点的横坐标缩短(>1)或伸长(0< <1)到原来的1/ 倍,(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<a<1)到原来的a倍(横坐标不变)。
< bdsfid="137" p=""></a<1)到原来的a倍(横坐标不变)。
<>这里所强调的顺序是“平移变换—周期变换—振幅变换”,不能混同于“先周期变换再平移变换”,有些图象变换错误往往就在于此,如下例:[5]例5:已知函数y=f(x),若将f(x)的图象上的每个点的横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的2倍,然后再将整个图形沿y轴向下平移2个单位,得到的图象与函数y=sinx的图象相同,求f(x)的解析式。
解:对问题逆向思维,由函数y=sinx的图象作相对运动,变换得到y=f(x)的图象,因此将y=sinx 的图象向上平移2个单位,然后使图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标缩小为原来的1/2倍,故得到f(x)=1/2sinx+2致误分析:视sinx为y的函数,依先平移再压缩的变换过程,应得sinx=2y-2因此答案应为y=1/2sinx+1或者采用待定系数法求解:设y=asinx+b, 则依题意得y=2(asinx+b)-2与y=sinx为同一函数,因此得a=1/2 ,b=1 , 故y=1/2sinx+1为所求函数解析式。
6,忽视验算结果正弦函数和余弦函数的有界性,即≦1,≦1的掌握情况和应用,在综和问题的解答中,常被忽视,如下例:例6:求函数y=cos2x-2sinx+1/3-2sinx的值域。
解:原式去分母整理得:sin2x+2(1-y)sinx+3y-2=0由△=4(1-y)2-4(3y-2)≧0 解得函数的值域为y≧5+ /2 或y≦5- /2致误分析:对判别式成立的条件没有检验,因为y=5+ /2时△=0,由求根公式得到sinx=-(1-y)=3+ /2 (-1, 1) ,所以△≧0求出的y的取值范围是错误的。
本题应采用图象法求解,设:x=3-2sint, y=cos2t-2sint+1 . 消t得到:y=-1/4(x-5)2+3 (1≦x≦5)由此转化为求k=y/x的取值范围,两式连立消y又得:x2+(4k-10)x+13=0,由=0得到k=(5 )/2.由p(1,-1)点坐标,求得k=-1,根据直线y=kx与抛物线存在的曲线相交(切)位置关系便得:-1≦k≦5- /2, 故所求函数值域为-1≦y≦5- /2 .二,三角函数问题求值域的几种类型此外,在解三角函数问题时,我们还会经常遇到求含三角的函数求值域问题,解决这类题,我们必须熟练掌握三角代换公式,学会观察,分析问题,习惯用数形结合的方法等,这些问题大致可分为如下几类:直线型形如f(x)=asinx+b的函数,我们可以将它看作是定义在(-1,1)上的函数y=ax+b ,它的最值在端点达到,即:[f(x)]max= +b [f(x)]min=- +b[2]例1:若y=asinx+b有最大值2,最小值-4,求a, b.解:由题意可得:+b=2, - +b=-4 a= 3, b=-1双曲线型形如f(x)= 的函数,我们可以把它看作是双曲线f(x)= 在区间(-1,1)上的情形,若-d/c (-1,1),则双曲线在(-1,1)上连续,函数值在双曲线的一支上,因此值域在与- 之间,若-d/c (-1,1),则双曲线在(-1,1)上不连续,函数值分别在双曲线的两支上,因此,值域在与- 之外。