问题1：运动粘度的量纲是： (C)
A. L/T2； B. L/T3 C. L2/T； D. L3/T。
问题2：速度v，长度l，重力加速度 g 的无量纲集合是： (D) 2 l v v lv A. B. gl C. gv D. gl g 问题3：速度v, 密度ρ, 压强 p 的无量纲集合是： (D)
v
vp vm
u
由上可知，运动相似是通过长度比尺λl和时间比尺λt来表示的。 长度比尺已由几何相似定出。 因此，运动相似就规定了时间比尺，只要对任一对应点的流速 和加速度都维持固定的比尺关系，也就是固定了长度比尺λl和时间 比尺λt，就保证了运动相似。
三、动力相似
动力相似是指原型与模型两个流动的力场几何相似。要求两个
示为dim v。
量纲可分为基本量纲和导出量纲。 基本量纲必须具有独立性，不能从其它基本量纲推导出来，而
且可以用它来参与表示其它各物理量的量纲。在流体力学中常用长
度、时间、质量（L、T、M）作为基本量纲。 由基本量纲推导出来的量纲，称导出量纲。它可用三个基本量 纲的指数乘积形式来表示。对于任何一个物理量x，其量纲可写作
粘性力比尺
于是
Tp
p p Ap
du p
l2 2 v l v
化简后
l v 1
v pl p
或者
即
p
雷诺数

vmlm
m
—— 无量纲数
( Re ) p ( Re ) m
上式说明，若作用在流体上的力主要是粘性力时，两个流动动 力相似，它们的雷诺数应相等。反之，两个流动的雷诺数相等，则 这两个流动一定是在粘性力作用下动力相似。

l3 p
3 lm
3 l
由上式可知，几何相似是通过长度比尺λl来表示的。只要任一 对应长度都维持固定的比尺关系λl，就保证了流动的几何相似。
二、运动相似
运动相似是指原型与模型两个流动的流速场和加速度场相似。
要求两个流场中所有对应的速度和加速度的方向对应一致，大小都 维持固定的比例关系。 速度比尺
l v 1
由于 1 ， 故
vm l v v p 1
vp
108 1000 hm hp 1.5 1(m) l vm 45 3600
hp
（2）求原型汽车所受的阻力 由在推导牛顿数得到的力的比尺为
f l2 2 v
v 1 l ， 则 此处 1 ，
水深
Bp
8.2 hm 0.164(m) l 50
hp
（2）模型平均流速与流量 对一般水工建筑物的流动，起主要作用的是重力，所以模型试 验只需满足佛汝德准则。即
2 v 1 g l
，模型的流速为
在此λg = 1，则
v l
vp
vm
模型流量为
l

2.3 50

0.325(m / s)
三、欧拉准则
作用在流体上的力主要是压力P。即：压力
压力比尺 P
P = pA
Pp Pm

p p Ap pm Am
p l2
由于作用力F中只考虑压力P，因而 F = P，即 于是可得 化简得 欧拉数
2 l2 2 v p l
f P
p 1 2 v
流场中所有对应点的各种作用力的方向对应一致，大小都维持固定 比例关系。 即
f
Fp Fm
式中 Fp——原型某点上的作用力； Fm——模型对应点上的作用力。 由牛顿第二定律：F = ma = ρV a 则力的比尺为
pV p a p f V a Fm mVm am
Fp
Fm 2 2 m lm vm
—— 无量纲数
F Ne 2 2 l v
在相似原理中称为牛顿数Ne
∴
( Ne ) p ( Ne ) m
上式说明，两个流动动力相似，它们的牛顿数相等；反之两个
流动的牛顿数相等，则两个流动动力相似。 在相似原理中，两个动力相似流动中的无量纲数，如牛顿数， 称为相似准数。动力相似条件（相似准数相等）称为相似准则。
对应角相等 θp = θm
以角标p表示原型(prototype)，m表示模型(model)。 线性尺寸成比例
l
lp lm

dp dm
式中λl——长度比尺； lp——原型某一部位长度； lm——模型对应部位的长度。
面积比尺
A
体积比尺
Ap Am

2 lp 2 lm
l2
v
Vp Vm
§ 5－ 2
相似准则
雷诺准则 佛汝德准则 欧拉准则
§5－2 相似准则
在模型实验中，只要使其中起主导作用外力满足相似条件，就 能够基本上反映出流体的运动状态。
一、雷诺准则
作用在流体上的力主要是粘性力。 牛顿内摩擦定律 粘性力 T A du A du
dy
dy
dy p T l v dum Tm m m Am dym 由于作用力仅考虑粘性力，F = T ，即 f T
dim x L T M
（1）
dim x L T M
导出量纲 速度 加速度 密度 力 压强 dim v = LT-1 dim a = LT-2 dim ρ= M L-3 dim F = M L T-2 dim p = M L-1 T-2
2、无量纲量
量纲公式 dim x L T M
流量：
Qp Qm
或

v p Ap vm Am Qp
v l2
Qm
v l2
按以上步骤，便可实现原型、模型流动在相应准则控制下的流 动相似。
例1：一桥墩长lp =24m，墩宽bp=4.3m，水深hp=8.2m，河中水 流平均流速vp=2.3m/s，两桥台的距离Bp=90m。取 =50来设计水工
第五章 相似原理与量纲分析
流动相似 相似准则 模型试验 量纲分析
§5－1
流动相似
几何相似
运动相似 动力相似
初始条件和边界条件的相似
原型：流体实际流动的实物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的 代表物，称为模型。
模型试验：依据相似原理把流体流动原型按一定比例缩小制成
模型，模拟与实际情况相似的流体进行观测和分析研究，然后将模 型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。 关键问题：模型流体和原型流体保持流动相似。
2 a l t
因为
V 3 l
则
f l
3 l
2 t
即
Fp Fm

2 2 pl p vp 2 2 mlm vm
l t
2 l
2 2 l v
2
上式可写成
Fp
l v
2 p p
2 p
则
v l
（1）
通常λg = 1，则上式为
v
l
（2）
要同时满足雷诺准则和佛汝德准则两个条件，式（1）和式（2） 32 相等。即得：

l
要实现两流动相似，一是模型的流速应为原型流速的 1 / l 倍； 2 二是必须按 来选择运动粘度的比值，但通常这后一条件难 3 l 于实现。 若模型与原型采用同一种介质，即 1 ，根据粘性力和重 力的相似，由式（1）和式（2），有如下的条件：
v
1
l
v l
显然，要同时满足以上两个条件，则
小，失去了模型实验的价值。
l 1
,即模型不能缩
从上述分析可见，一般情况下同时满足两个或两个以上作用力
相似是难以实现的。
二、模型设计
模型设计首先定出长度比尺
l ，再以选定的比尺 l 缩
小（或放大）原型的几何尺度，得出模型流动的几何边界。 通常，模型和原型采用同一种类流体，则 1 ，然后按 所选用的相似准则确定相应的速度比尺，再按下式计算出模型流的
u
up um tp tm
up um lp tp lm t m
时间比尺 则
t
u
l t
l p t p 2 ( ) l t 2 lm t m
加速度比尺
a
ap am

lp t2 p lm t
2 m
由于各相应点速度成比例，所以相应断面平均流速有同样的速 度比尺，即
vp vm
Qp
因为
Qm
Qm

v p Ap vm Am
2 l
所以
Q p vm
l2 v p
2.3 (90 4.3) 8.2 0.325 3 0 . 091 ( m / s) 2 50 2.3
例 2：汽车高 hp=1.5m，最大行速为 108km/h ，拟在风洞中测定 其阻力。风洞的最大风速为 45m/s ，问模型的最小高度为多少？若 模型中测得阻力为1.50kN，试求原型汽车所受的阻力。 解：（1）求模型的最小高度hm 对于分析气体阻力问题，可按雷诺准则计算。雷诺准则为



物理量x的性质可由量纲指数α，β，γ来反映。 ●如α，β，γ有一个不为零，则x为有量纲量。 也称纯数。
●如α，β，γ均为零，即dim x =L0 T0 M0 = 1,则称x为无量纲量，
●基本量与导出量适当组合可以组合成无量纲量。
无量纲量有如下特点： ①量纲表达式中的指数均为零； ②没有单位； ③量值与所采用的单位制无关。 ●由于基本量是彼此互相独立的，故它们之间不能组成无量纲 量。
四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界 上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等 。