Re =
nD 2
ν
=
nm D 2 m
ν
2
Dm 1 = D 10
⎛ D ⎞ nm = ⎜ ⎟ n = 100 × 800 = 80000 转/分 ⎝ Dm ⎠
5. 船模速度 1m/s，船模兴波阻力 Rm =100N，若实船速度 6m/s。 求：实船与船模的尺寸之比。 解：由
U Lg
=
Um Lm g
得：
因为Π1和Π2为无量纲数，所以分别有：
⎧1 + a = 0 ⎪ ⎨1 − 3a + b + c = 0 ⎪−2 − b = 0 ⎩
解上述两个代数方程组分别得：
⎧1 + a = 0 ⎪ ⎨−1 − 3a + b + c = 0 ⎪−1 − b = 0 ⎩
a = −1, a = −1,
所以两个无量纲数分别为：
迁移惯性力 粘性力 迁移惯性力 局部惯性力
Fr =
迁移惯性力 重力
Eu =
压力 迁移惯性力
Se =
4.相似理论的应用 完全相似：满足两流动现象相似的全部动力相似准则，但在工程实际中难于做到。 部分相似：对某一具体问题，只考虑对流动起主导作用的动力相似准则，忽略次要因素的相 似准则。 5.自动模拟 当雷诺数达到一定数值时，阻力系数几乎不随雷诺数而变化，这一阻力系数不随雷诺 数而变的区域称为自动模拟区，所对应的雷诺数称为自模雷诺数。不同形状的物体，所对应 的雷诺数也不同。
二、重点、难点 重点：
1. 相似的概念。
2. 量纲分析法，Π定理，以及应用。 3. 相似准则数的物理意义。 4. 相似准则数的应用，自动模拟的概念。
难点：
量纲分析法，Π定理，以及应用
三、例题
1.采用缩尺比为 1/20 的潜艇模型在水洞中进行试验，潜艇长L，速度U，海水密度ρ，运动 粘性系数ν，潜艇的阻力F; 试验用水密度ρm，运动粘性系数νm，设流动定常，确定：1）
Re =
UL 30 × 0.514 × 150 = = 2.011 × 109 v水 1.15 × 106
一般的风洞难以达到这一雷诺数， 可以考虑先试验测出自模雷诺数， 在自模雷诺数下进 行试验。 试验得到相似船模的阻力系数： CD =
D模 1 ρ V 2A 2 空 模 模 = D实 1 ρ水V模 2 A模 2
无量纲数来描述，变成了两个独立的无量纲数的函数关系：
R R = F( ) = F (Re) 2 2 ρU D ρU 2 D 2
或写为阻力系数 问题得到了简化。 9. 设螺旋桨的推力 T，与螺旋桨直径 D，前进速度 U，每分钟的转速 n，流体动力粘性系数
CR = F (Re)
μ , 密度 ρ 有关，试用Π定理导出推力的关系式。
R f = f ( ρ , L, U , μ )
上式展开为幂级数，并令中括号内变量的指数为 a,b,c,d，则：
R f = ∑ K ρ a LbV e μ d
取基本量纲为：质量 [ M ] ，长度 [ L ] ，时间 [T ] 将展开后的函数关系式写成如下导出量纲的形式：
b ⎡L⎤ ⎡ M ⎤ ⎡ ML ⎤ ⎡ M ⎤ = ⎢ 3 ⎥ [ L] ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎣T ⎦ ⎣L ⎦ ⎣ T ⎦ ⎣ LT ⎥ ⎦ a c d
水洞试验时的水速， 2）潜艇与模型的阻力比。 解：1）采用雷诺数相似，潜艇原型的雷诺数为： Re =
UL
ν
，按照缩尺比
Lm 1 = , L 20
模型试验的雷诺数为 Re =
Hale Waihona Puke U m Lmνm= UL
两雷诺数应该相等：
U m Lm
νm
ν
得模型试验水速 U m =
ν L νm U = 20 m U ν Lm ν
2）由阻力系数相等（阻力系数也是相似准则数） ：
CD =
Fm F = 2 ρ mU m Lm ρUL2
所以
ν ρ U L2 F 1 ρ m 20 νm U 1 ρm ν m = m m2 m = = Fm U 400 ρ 20 ρ ν ρUL
2. 实船长 150m，在海中航速 30 节，为研究兴波阻力和粘性阻力，拟在风洞中和水池中进 行船模试验。已知水的粘性系数为 1.15×10-6m2/s 解：1）在风洞中试验，应满足 Re 数相似。这里用合模（将船模水线以下部分制作两个，然 后叠合一起）做实验，测出阻力后除以 2，就得到船模的粘性阻力。
Lm U 1 1 = ( m )2 = ( )2 = L U 6 36
6. 缩尺比为 1：64 的船模，模型试验测得兴波阻力 10N，求原船的兴波阻力。 解：由兴波阻力系数相等： Cw =
Fwm 1 ρU 2 m Am 2
U Lg
=
Fw 1 ρU 2 A 2
佛鲁德数相等 Fr =
Um Lm g
=
速度之比：
第九章
一、内容小结
相似理论
研究流体力学问题主要有两条不同的途径，一是利用数学分析方法寻求流体运动规 律， 建立基本方程并设法求解这些方程； 二是通过实验研究的方法寻求流体运动各物理量之 间的规律性关系。 而实验研究由可分为直接实验和模型试验研究， 直接实验得出的结果只能 适用于特定的实验条件，或者只能推广到完全相同于实验条件的问题中。显然，直接实验方 法研究流体力学问题具有非常大的局限性。 而基于相似原理的模型试验研究方法已经被证实 在相似条件下具有推广意义。 本章内容就是介绍指导模型试验、 实验数据的分析整理的有关 内容。 1. 流动的力学相似 力学相似包括：几何相似，运动相似，动力相似。 1）几何相似：两流场中对应长度成同一比例。 流场边界的几何相似： 对于绕流问题，分为有界流场和无界流场，对于无界流场内边界为物体表面，外边界 为无穷远，对于有界流场，应有外边界的几何相似。 对于内流问题，几何相似就是流道的几何尺度相似。 2）运动相似：两流场中对应点上速度成同一比例，方向相同。 3）动力相似：两流场中对应点上各同名力同一比例，方向相同。 在几何对应点上，所作用的同名力对应相似，这些作用力包括重力，惯性力，压力， 粘性力等。 2. 量纲分析与Π定理 基本概念： 量纲：物理参数度量单位的类别称为量纲或因次。 基本量纲：基本单位的量纲称为基本量纲，基本量纲是彼此独立的，例如用 L, M , T 来表示 长度，质量和时间等，基本量纲的个数与流动问题中所包含的物理参数有关，对于不可压缩 流体流动一般只需三个即 L, M , T （长度，质量和时间） ，其余物理量均可由基本量纲导出。
k,a,b,c,d 都是无量纲常数。
按量纲齐次性原理，列指数的联立方程
M： L： T：
1 = a+d 1 = -3a+b+c-d -2 = -c-d
b=2-d, c=2-d
联立解出： a=1-d, 所以 R f =
∑Kρ
1− d
L2− d U 2− d μ d = ρ L2U 2 ∑ K (
UL
ν
)− d
常用空泡数： σ =
p − pv 1 2 ρv 2
σ=
要求两流动现象压力相似时，应使两流动现象的 Eu 数相等。 4）斯特洛哈尔数 St =
Ut l
St =
特征速度 × 特征时间 流体长度
两流动现象为非定常流动时，要求斯特洛哈尔数相等，例如螺旋桨理论中的相对进程：
λ=
相似准则的物理意义：
U nD
Re =
−1 导出量纲：导出单位的量纲称为导出量纲，例如流体运动粘性系数 [ν ] = ⎡ ⎦ 等。 ⎣ LT ⎤
量纲齐次性原理：一个具有物理意义的方程中各项的因次必须相同称量纲齐次性。有量纲
的方程可以用无量纲形式表示。 无量纲数：又称无因次数，例如压力系数 C p =
p 1 ρV 2 A 2
Π定理：描述某物理现象的有量纲参数，可以转化为无量纲参数。 设某个物理现象与n个物 理量 α1 , α 2 ,"" , α n 有关，可以由函数关系式 f (α1 , α 2 ,"" , α n ) = 0 表示。如果n个物理 量中有P个基本量纲, 则可将n个物理量组合成n-p个独立的无量纲数Π1，Π1，Πn-p，因而该物 理现象可以由无量纲关系式 F (Π1 , Π 2 ,"" , Π n − p ) = 0 所描述。 在不可压缩流体流动中，p=3, 则有 F (Π1 , Π 2 ,"" , Π n −3 ) = 0 不可压缩流体流动中Π定理的运用： 1） 在 n 个物理量中选 3 个基本量（循环量） ，基本量选取的一般原则： 为保证几何相似，选取一个与长度直接相关的量， 为保证运动相似，选取一个与速度直接相关的量， 为保证动力相似，选取一个与质量直接相关的量。 2）用所选定的 3 个基本量与其余 n-3 个物理量依次组合成无量纲数。 3. 相似准则 两流动现象相似的充分必要条件是： 两力学现象应满足同一微分方程式， 且具有相似的 边界条件及初始条件。 应用量纲分析法，由 N-S 方程得到如下相似准数： 1）雷诺数 Re =
Um = U
Lm L
=
1 8
面积之比：
Am L 1 = ( m )2 = A L 4096
U2 A = 10 × 64 × 4069=2604160N U 2 m Am
原船的兴波阻力 Fw = 10 ×
7. 假定薄平板摩擦阻力Rf与平板长度L，水的密度 ρ ，动力粘性系数 μ , 平板的运动速度V 有关，试用因次分析法导出摩擦阻力Rf的表示式。 解： 将该流动问题所涉及的物理量写成函数关系式：
或改写为
Rf 1 ρU 2 L2 2
= f(
UL
ν
) = f (Re)
这就将一个有量纲的函数关系式写成了无量纲形式，也就是相似准则数。 f (Re) 由 实验确定，分母上 的性质。