第五章 相似原理与量纲分析
流动相似
相似准则
模型试验
量纲分析
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§5－1 流动相似
几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件的相似
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原型：流体实际流动的实物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的 代表物，称为模型。 模型试验：依据相似原理把流体流动原型按一定比例缩小制成 模型，模拟与实际情况相似的流体进行观测和分析研究，然后将模 型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。 关键问题：模型流体和原型流体保持流动相似。 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、 各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似 的。 模型和原型保证流动相似，应满足： 几何相似 运动相似 动力整理相pp似t 初始条件和边界条件相3似
上式可写成
Fp Fm
plp2v2p mlm2vm2
—— 无量纲数
在相似原理中称为牛顿数Ne ∴ (Ne)p (Ne)m
F
N e l 2v 2
上式说明，两个流动动力相似，它们的牛顿数相等；反之两个 流动的牛顿数相等，则两个流动动力相似。
在相似原理中，两个动力相似流动中的无量纲数，如牛顿数， 称为相似准数。动力相似条件（整相理p似pt 准数相等）称为相似准则。9
速度比尺 时间比尺 则
加速度比尺
u
up um
t
tp tm
u
up um
lp lm
tp tm
l t
aa am p llm p 整理ttpm 2 2 p pt llm p(ttm p)2l
2 t
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由于各相应点速度成比例，所以相应断面平均流速有同样的速
度比尺，即
v
vp vm
u
由上可知，运动相似是通过长度比尺λl和时间比尺λt来表示的。 长度比尺已由几何相似定出。
似，则它们的欧拉数应相等。反之，两个流动的欧拉数相等，则这
两个流动一定是在压力作用下动整力理p相pt 似。
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§5－3 模型试验
模型律的选择 模型设计
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§5－3 模型试验
模型的设计，首先要解决模型与原型各种比尺的选择问题，即
所谓模型律的问题。
一、模型律的选择
在进行模型设计时，根据原型的物理量确定模型的量值，这就
因此，运动相似就规定了时间比尺，只要对任一对应点的流速
和加速度都维持固定的比尺关系，也就是固定了长度比尺λl和时间 比尺λt，就保证了运动相似。
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三力场几何相似。要求两个
流场中所有对应点的各种作用力的方向对应一致，大小都维持固定
比例关系。 即
f
Fp Fm
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§5－2 相似准则
雷诺准则 佛汝德准则 欧拉准则
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§5－2 相似准则
在模型实验中，只要使其中起主导作用外力满足相似条件，就
能够基本上反映出流体的运动状态。
一、雷诺准则
作用在流体上的力主要是粘性力。
牛顿内摩擦定律
粘性力 粘性力比尺
TAduAdu
dy dy
T
Tp Tm
pp Ap
这两个流动一定是在粘性力作用下动力相似。
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二、佛汝德准则
作用在流体上的力主要是重力。即：重力 G = mg = ρVg
重力比尺 GG G m p m pV Vm pg gm p g3 l
由于作用力F中仅考虑重力G，因而 F = G，即λf = λG
于是 l22 v g3 l
化简得：
2 v
四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界 上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等 。
五、流动相似的含义
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定两个流体运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流 动。
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面积比尺
A
Ap Am
lp2 lm2
l2
体积比尺
v
Vp Vm
l3p lm3
3l
由上式可知，几何相似是通过长度比尺λl来表示的。只要任一 对应长度都维持固定的比尺关系λl，就保证了流动的几何相似。
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二、运动相似
运动相似是指原型与模型两个流动的流速场和加速度场相似。 要求两个流场中所有对应的速度和加速度的方向对应一致，大小都 维持固定的比例关系。
P = pA
压力比尺
P
Pp Pm
ppAp pmAm
pl2
由于作用力F中只考虑压力P，因而 F = P，即
f P
于是可得 l22v pl2
化简得 欧拉数
p 1
2 v
Eu p
v 2
则
pp pm
p
v
2 p
mvm2
—— 无量纲数
所以 (Eu)p (Eu)m
上式说明，若作用在流体上的力主要是压力，两个流动动力相
式中 Fp——原型某点上的作用力；
Fm——模型对应点上的作用力。
由牛顿第二定律：F = ma = ρV a
则力的比尺为
f F Fm p m pV Vm pa am p Va
因为
V
3 l
2 a整理ppt l t
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则
f 3 llt2l2 tl 2l22 v
即
Fp
pl
2 p
v
2 p
Fm mlm2 vm2
一、几何相似
几何相似是指原型与模型的外形相似，其各对应角相等，而且 对应部分的线尺寸均成一定比例。
对应角相等 θp = θm 以角标p表示原型(prototype)，m表示模型(model)。 线性尺寸成比例
l
lp lm
dp dm
式中λl——长度比尺；
lp——原型某一部位长度；
lm——模型对应部位的长度整。理ppt
dup dyp
mmAm
dum dym
lv
由于作用力仅考虑粘性力，F = T ，即 f T
于是
2 2 l v
整理ppt
l v
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化简后 或者
lv 1
v plp vmlm
p
m
—— 无量纲数
即 雷诺数 (Re)p (Re)m
上式说明，若作用在流体上的力主要是粘性力时，两个流动动
力相似，它们的雷诺数应相等。反之，两个流动的雷诺数相等，则
1 或
v
2 p
v
2 m
gl
g pl p gmlm
—— 无量纲量
佛汝德数
Fr
v2 gl
所以 (Fr)p (Fr)m
上式说明，若作用在流体上主要是重力，两个流动动力相似，
它们的佛汝德数相等，反之，两个流动的佛汝德数相等，则这两个
流动一定是在重力作用下动力相整似理p。pt
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三、欧拉准则
作用在流体上的力主要是压力P。即：压力