2014年成人高考数学模拟题1一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则MB =（B ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- （2）若0tan >α，则aA. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α （3）设i iz ++=11，则=||z A.21B. 22C. 23D. 2（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.26 C. 25D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+A. B.21 C. 21D. （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱（9）执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A.203 B.72 C.165 D.158（10） 已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 （11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =A ．-5 B. 3 C ．-5或3 D. 5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____. （14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. （18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：（I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？(19)(本题满分12分)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.（20） （本小题满分12分）已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积（21）（本小题满分12分）设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （1）求b;（2）若存在01,x ≥使得()01af x a <-，求a 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（I ）证明：D E ∠=∠； （II ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且M B M C =，证明：ABC ∆为等边三角形.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=ty t x l 222:（t 为参数）（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲若,0,0>>b a 且ab ba =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.参考答案一、选择题1-5. BABDA 6-10. CCBDC 11-12. BA 二、填空题13.2314. A 15. (,8]-∞ 16. 150 三、解答题 17. 解：（1）方程2560x x -+=的两个根为2，3，由题意得因为242,3a a ==设数列{}n a 的公差为d ，则422a a d -=，故12d =，从而132a = 所以{}n a 的通项公式为112n a n =+ （2）设{}2n n a 的前n 项和为nS ，由（1）知1222n n n a n ++=，则 2313412...2222n n n n n S +++=++++ ①341213412 (22222)n n n n n S ++++=++++ ② ①-②得3412131112 (242222)n n n n n S ++++=++++- 123112(1)4422n n n -++=+-- 所以，1422n n n S ++=-18.解：（1）…………………………4分（2）质量指标值的样本平均数为806902610038110221208100100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==质量指标值的样本方差为所以，这种产品质量指标的平均数估计值为100，方差的估计值为104.……………………………………10分（3）依题意38228100++= 68％ < 80％所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定。

……………………………………12分19.（1）证明：连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C A O ⊥，故1B C A B O ⊥平面由于AB ABO ⊂平面，故1B C AB ⊥……………………………6分（2）解：做OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD ，做OH AD ⊥，垂足为H 。

由于,BC AO BC OD ⊥⊥，故BC AOD ⊥平面，所以OH BC ⊥ 又OH AD ⊥，所以OH ABC ⊥平面因为160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得4OD = 由于1AC AB ⊥，所以11122AO B C ==由OH AD OD OA ⋅=⋅，且4AD ==，得14OH =又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 的距离为7，故三棱柱111ABC A B C -的………………………………………………………………………………12分 20．解：（1）方法一：圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以，圆心为(0,4)C ，半径为4， 设(,)M x y ，则(,4),(2,2)CM x y MP x y =-=--， 由题设知0CM MP ⋅=，故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=……………6分 方法二：圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以，圆心为(0,4)C ，半径为4， 设(,)M x y ， 设24,2AB CM y y k k x x--==-，则24,2AB CM y y k k x x--==- 所以2412AB CM y y k k x x--==--化简得，222680x y x y +--+=，即22(1)(3)2x y -+-= 所以M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-= （2）方法一：由（1）可知M 的轨迹是以点(1,3)N 为半径的圆 由于||||OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥ 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-， 所以l 的方程为1833y x =-+又||||OM OP ==O 到l 的距离为|55PM =，所以POM ∆的面积为165方法二：依题意，||OP =，因为||||OM OP == 所以，M 也在228x y +=上所以222282680x y x y x y ⎧+=⎪⎨+--+=⎪⎩ 两式相减，得26160x y --+=，即1833y x =-+，此方程也就是l 的方程 由（1）知，M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=， 设此方程的圆心为N ，则(1,3)N 所以d =又||NP ==所以||MP ==O 到l 的距离h =所以，11625POM S ∆== 综上所述，l 的方程为1833y x =-+，POM ∆的面积为165 21.（1）解：()(1)a f x a x b x'=+-- 由题设知(1)(1)0f a a b '=+--=解得1b =……………………………………………………………………………4分（2）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，由（1）知，21()ln 2a f x a x x x -=+-， 1()(1)1()(1)1a a a f x a x x x x x a-'=+--=--- （ⅰ）若12a ≤，则11a a ≤-， 故当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>在(1,)+∞单调递增，所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为(1)1a f a <-， 即1121a a a --<-，解得11a <<（ⅱ）若112a <<，则11a a>-， 故当(1,)1a x a∈-时，()0f x '<； 当(,)1a x a∈+∞-时，()0f x '>； 所以()f x 在(1,)1a a -单调递减，在(,)1a a+∞-单调递增，所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为()11a a f a a <-- 而21()ln 112(1)11a a a a f a a a a a a =++>-----，所以不合题意 （ⅲ）若1a >，则11(1)1221a a a f a ---=-=<-综上所述，a 的取值范围是(1)(1,)⋃+∞……………………………12分22.（本小题满分10分）（1）证明：由题设得，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以，D CBE ∠=∠又CB CE =，CBE E ∴∠=∠所以D E ∠=∠………………………5分（2）证明：设BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上又AD 不是O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠，由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形。