2012 年成人高考（高起专、本）数学模拟试题（一）（理工类）一、选择题（本大题共15 小题，每小题 5 分，共 75 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A x x 2 , B x x a ，若A B ，则有（）A ． a2B． a2C． a2D． a22．已知ab0 ，则“x ab”是“a, x,b成等比数列”的（）A ．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．设函数y f (x)的定义域是1,1 ，那么函数y f (log 1 x) 的定义域是（）2A．1,2B．0,2C．2,D．0,1 224．函数y log 0.5 (6x x2 ) 的单调递增区间是（）A ．(11C．(,1D．( 3,1 , )B．( ,2))) 22225．复平面上点Z1, Z2分别对应复数z11, z23i，将向量 Z1 Z2绕点 Z1逆时针旋转 90 ，得向量 Z1 Z3，则点Z3对应的复数z3为（）A ． 3 i B． 3 i C． 3 4i D． 2 i6． M 为抛物线y24x 上一动点，F为抛物线焦点，定点 P(3,1) ，则MP MF 的最小值为（）A ．3B ．4C．5 D ．67．圆台上、下底面面积分别为1cm2和 49cm2，平行于底面的截面圆面积为25cm2，那么截面到上、下底面距离之比为（）A．3：1B．1：2C．2：1 D ．1：38．直线2x y 4 0绕它与x轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是（）4A ．3x y 6 0B．x 3y 2 0C ． 3x y 6 0D ． x y 2 09．若 f ( x) log a ( x m) 的图象过点（ 3，1）， f (x) 的反函数 f1( x) 的图象过点（0，2），则 a 和 m 的值顺次为（ ）A ． 1,3B ．1,1C ．2，3D ．2，12210． y sin 2x 向 x 轴负方向平移5后得到 yf ( x) 的图像，则 f ( x) 的单调递增区间是 （）12A ． k2, k (k Z )B ． k,k 2 (k Z )3663C ． 2k,2k 3 Z )D ． 2k,2k 2 ( k Z )4(k343( 1 3i)32 i 等于（）11．i ) 61 2i(1A ．1B ．－ 1C ．0D ． i12．已知直二面角l ，直线 a ，直线 b ，且 a,b 与 l 均不垂直，那么直线 a 和 b的关系为（）A ． a 和 b 不可能垂直，也不可能平行B ． a 和 b 不可能垂直，但可能平行C ． a 和 b 可能垂直，但不可能平行D ． a 和 b 可能垂直，也可能平行．已知 a 4, b 5 ，向量 a 与 b 的夹角为 ，则 a b =（ ）13 3A ．40B ．20C ．30D ．1014．直线xt cosa（ t 是参数）与圆x4 2 cos （ 是参数）相切，则直线的倾斜角为y t sin ay2sin（ ）A ． 或5B ．或3C ．3或 2D ．或56 6 4436 615．任意抛掷三枚硬币，恰有一枚硬币国徽朝上的概率是（）A ．1B ．1C ．3D ．34384二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线上）16．若函数y x2 2 x 3 在区间 0, log 1 a 上的最大值是3，最小值是 2，则a的取值范围2是。
17．已知(1x)n a0a1x a2 x 2a n x n中， 3a n 6 2a4，那么 (1 x)n的展开式中，中间两项依次是。
18．在 4 张卡片上分别写有数字1，2，3，4，由这 4 张卡片组成个位数字不是 2，百位数字不是 3 的四位数有个。
19．P 为椭圆x2y 21上一点，它到椭圆的右焦点距离为4，那么它到椭圆的左准线的距2516离为。
三、解答题（本大题共 5 题，共 59 分，解答应写出推理、演算步骤）20．（本小题满分 11 分）用边长为 60cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90 角，再焊接而成（如下图），问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？21．（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥P—ABC 中， PA PC ，APC ACB 90 , BAC 30，平面PAC平面 ABC．（ 1）求证：平面PAB平面PBC．（ 2）若 PA 2 ，求三棱锥 P—ABC 的体积．22．（本小题满分 12 分）在数列 a n中，已知 a1 2, a n 1a n，设 b n1 1 ．a n3a n2（1）证明数列b n是等比数列．（2）求数列a n的通项公式．23．（本小题满分 12 分）已知椭圆x2y2 1(a b 0) 的右焦点为F，过点F作倾斜角为135的直线 l 交椭圆于a2b2A、B 两点，线段 AB 的中点为 M，直线 AB 与 OM 的夹角为，且 tan3，求椭圆的离心率 e 的值．24．（本小题满分 12 分）已知 f ( x) x(11) 2 x12（ 1）指出函数的奇偶性，并加以证明．（ 2）求证：对函数定义域内的任何 x ，恒有 f (x) 0 ．参考答案一、选择题1．C2．A3．A4．B 5． D 6．B 7．C8．A 9．D10．A11． C 12．B13．D 14． A15． C二、填空题16． 1,117． 126x 4 ,126 x518．1419．104 2三、解答题20．解 设水箱底边长为 xcm ，则水箱高（单位： cm ）h60 x ．2水箱容积（单位： cm 3）V V ( x) x 2h60 x2x 3(0 x 60) ．2由问题的实际情况来看， 如果 x 过小，水箱的底面积就很小， 容积 V 也就很小；如果 x 过大，水箱的高就很小，容积 V 也就很小，因此，其中必有一适当的 x 值，使容积 V 取得最大值．求 V (x) 的导数，得V ( x) 60 x3 x 2 ．2令 V ( x)0 ，即 60x3 x 20，解得2x 1 0 （不合题意，舍去），x 240 ．当 x 在（0，60）内变化时，导数 V ( x) 的正负如下表：x（0，40）40（ 40，60）V (x)＋0－因此在 x 40 处，函数V (x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V ( x) 的最大值．将x40 代入V ( x)，得最大容积V402604016000221．证（ 1）平面 PAC平面 ABC ， BC ACBC平面 PAC ， BC PA又PA PC ，PA平面 PBC由于PA平面 PAB平面 PAB平面 PBC ．解（2）过 P 作 PD AC交 AC于 D，则 PD平面 ABC由 PA2，知PD2，AC22 2 2，BC3S ABC 4 3V p ABC 12446 33922．解（ 1）显然a n0由a n1a n a n 3得113a n a n1113(11 )a n12a n2即 b n 13b n1 1 1为首项，以 3 为公比的等比数列．数列 b n 是一个以 b 12a 1（2）由（ 1）知11 3n 1a n2a n23n 112这就是求的数列a n 的通项公式．23．解 设椭圆的右焦点为 (c,0) ，其中 c2a2b 2，直线的 AB 方程为y ( x c)yx c由 x2y 2消去 y 并整理，得 (a 2 b 2 )x 2 2a 2 cx a 2 (c 2 b 2) 0 a2b 2 1a2b20 ，4a 4 c24a 2 ( a2b 2 )(c2b 2 ) 8a 2b4设两交点 A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) ，则 x 1 x2a 2c2b2a2x 1x 2 a 2cx 02a2b2y 0x 0 ca 2cc b 2ca 2b 2a 2b 2b2kOMa2由已知 k AB1及 tan3得 k OM 131 k OM解得k OM2 或 k OM12由于a b ，kOMb 2 1a 22所以 e2c 21 b 211 1a 2 a 22 22故e．224．解（1）f (x)的定义域为x x R,但x0f ( x) ( x)(11 2 x1) x(11又2x1) x(2x122x1) f (x) 22f ( x) 是偶函数．（2）当 x 0时， 2 x1，所以f ( x)0 ．当 x 0时，由f (x)是偶函数，所以也有 f ( x) 0 ．总之，对一切 x(x R, x 0) 恒有 f (x)0 ．4、她们宁可做一时的女王，不愿一世的平庸。
5、男人插足叫牛逼，女人插足叫小三。
6、你要成佛成仙，我跟你去，你要下十八层地狱，我也跟你去。
你要投胎，我不答应！7、忘川之畔，与君长相憩，烂泥之中，与君发相缠。
寸心无可表，唯有魂一缕。
燃起灵犀一炉，枯骨生出曼陀罗。
8、如果还有机会的话，我一定会让你回到我的身边，我不想让你和别人结婚。
9、每个人心里都有脆弱的一面，如果放大这种脆弱的话，没人想活。
10、我做了一个很伟大的决定，看你这么可怜，又没有朋友，我们做朋友吧！11、我不该只是等待，我应该去寻找。
12、哪怕再花上七十年，七百年，我想我肯定会找到他！13、恶鬼：你敢打我！夏冬青：你都要吃我了，我还不能打你啊！14、人活着就会失去，你失去的不会再来，你争取的永远都会失去！15、阿茶：我可以让你抵抗时间的侵袭。
弹琴盲人：那我是不是也就失去了时间？16、孔明灯真的很漂亮，就像是星星流过天河的声音。
17、冥王阿茶：想早点见到我吗？冬青：不用了吧，顺其自然。
18、我妈把我生得太仓促了，我又控制不了。
19、神，生于人心，死于人性。
请垂怜于我吧，让我再次眷顾，深爱的你们。
20、人天生心欲做恶，意志薄弱，神便说，人须为自己的罪负责，因为他被赋予了自由的意志，而真心悔罪者，神便从他的身上把罪除去。
21、我们从虚空中来，每个人都抱着善与恶，有人升入天堂，有人堕入地狱，在无边的业火中，我想起你，想起从前，我们曾经离得那么近。
22、你们天人总是一厢情愿，总以为世人应该微笑着，那不是很残酷，没有人愿意。
23、你有没有过这样的东西，沾染过你的体温，聆听过你的心事，它们得到爱，回报爱。
你有没有丢弃过这样的东西，它们在黑暗的角落，想念着你。
即使粉身碎骨，即使已过经年，终有一天，思念，会把它们带到你的身边。
24、很久很久以前，有一种生物，学会了用两足站立，尝试着迈开双腿。
自此，他们就踏上了旅途，那是被时间驱赶着，永无止境的旅途⋯⋯25、我借着爱的轻翼，飞过园墙，砖石的墙垣，不能把爱情阻隔，甚至，死亡。