2100 3100 2100 3100
2100
例 求解一阶线性常系数微分方程组
ddt x1 2x1 x2 x3
ddt x2 x1 2x2 x3
d dt
x3
x1
x2
2 x3
解令
x
x1 x2 x3
，
dx dt
d dt
d dt
d dt
x1 x2 x3
， A
2 1 1
一次因式方幂的乘积， 并分别写出这些方幂
(相同的按出现的次数计数)，称之为A的初等因子，
本题中A的初等因子为
2 和 ( 2)2 第三步：对每个初等因子( i )ri 作出 ri 阶
Jordan块
i
1
i
1
i
ri
ri
所有初等因子对应的Jordan块构成的Jordan矩阵 J
即是A的Jordan标准形。本题中A的Jordan标准形为
1 1
10
1 0 0，
1 0
3 0 ( 3)( 2)， 1 2
3
1
1 2，
1
1 1
0 ( 2)， 2
1 1 ( 2)， 1 0 2，
11
1 2
1 0 ( 1)( 2)
1 2
所以
D2() 2
又 det(I A) ( 2)3，故
D3() ( 2)3
；
1 1 2
解 第一步：对 I A 用初等变换化为Smith
标准形：
3
I A 1
1
3
1
1
1
0
c2 ( 1) c1
1 0
1 2 2 4 4
0
r1( 3) r2
r3 r2
0
0
2
2
0 ( 2)2
0
c2 c3 r1(1)
1
0
0
0
2
2
0 ( 2)2 0
故A的Jordan标准形为
2 J
2
1
(或
J
2
1 2
)
2
2
2 1 1 1
2)
A
2 1
2 2
1 1 1 2
0 0 0 3
解 可求得 det(I A) ( 1)3( 3)
所以A的特征值为 1 2 3 1, 4 3
又对应 1只有一个线性无关的特征向量
(0, 1, 1, 0)T
2
例 已知一个12阶矩阵的不变因子是
1,1,, 1，( 1)2，( 1)2( 2)，
9
( 1)2( 2)(2 3)2
求A的Jordan标准形。 解 A的初等因子为
( 1)2，( 1)2，( 2)，( 1)2，( 2) ( 3i)2，( 3i)2
故A的Jordan标准形为：
1 1
1 0
0
2 2
0
2
r2 2 r3
r2 (1)
0
0
1 0
0
( 2)
0 0
r2 r3
c3c3
0
0
1 0
0
0 0
0 0 ( 2)
A的不变因子为 d1() 1, d2() , d3() ( 2)
A的初等因子为 , , 2
A的Jordan标准形为
0 J 0
1 0
0
0
0
2
1 0
0
( 2)2
0 0
0
0
2
r1 r2
r2 r3
c2 c3
1 0
0 2
0 0
0
0
( 2)2
从而A的不变因子为
d1() 1, d2() 2, d3() ( 2)2
第二步： 再把A的每个次数大于零的不变因子
(此处是 d2() 和 d3()) 分解成关于 的不同的
1
2 0 0 0 2 0 1 1 1
( 2)2 1 3 1 1
( 2)( 2)3
A的特征值为
1 2, 2 3 4 2
对于 1 2，求解 (2I A)x 0，由于
3
2I
A
1 1
1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 2 1
1 1 2
则微分方程组可写成矩阵形式
d x Ax dt
可求得
P
1 0
1 1
11，使得
1 1 0
P 1AP
1
2
3
令 x Py，其中 y ( y1, y2, y3)T。
注意到 d(Py) P d y，代人前一式得
dt
dt
P d y APy， 即 d y y，
dt
dt
注 可求得 det(I A) ( 1)5且 rank(I A) 2，
此时A对应5重特征值1有3个线性无关的特征向量，
直接按特征向量法无法确定A的Jordan标准形。
解设
1 A1 0
0
0 1 0
2 0 1
，A2
1 2
0，则 A A1
1
O
O 。 A2
可求得 det(I A1) ( 1)3且 rank( I A1) 1， det(I A2) ( 1)2且 rank(I A2) 1，
(c1,c2,c3 任意)
§3 Jordan 标准形介绍
例 求下列矩阵的Jordan标准形：
1)
3 A 1
1
解 可求得
1 1
0 0
；
1 2
det(I A) ( 2)3
所以A的特征值为 1 2 3 2 又对应 2 有2个线性无关的特征向量
(1, 1, 0)T, (0, 0, 1)T
1 1 1 0
同解方程组为 x1 x4, x2 x4, x3 x4
基础解系为
(1, 1, 1, 1)T
对应 1 2 的全部特征向量为
k1(1, 1, 1, 1)T (k1 0)
对于 2 3 4 2，求解 (2I A)x 0, 由于
1 1 1 1 1 1 1 1
2I
A
1 1
§2 相似对角化
例 下列矩阵是否可对角化？若可以，试求出
相似变换矩阵和相应的对角矩阵：
1)
2 A 1
1 2
11；
1 1 2
解 可求得 det(I A) ( 1)( 2)( 3)
A的特征值为 1 1, 2 2, 3 3
因为A的特征值互异，所以A可对角化。
又对应的特征向量分别为
p1
( 1)( 2)( 3)
A的特征值为
1 1, 2 2, 3 3
对于1 1，求解 (I A)x 0，由于
1 1 I A 1 1
1 0 1 1
0 1
0 1 1 0
0 1
1 0
1 1 1 0 2 0 0 0 0
同解方程组为
x1 x2
Hale Waihona Puke x3，基础解系为 0(1, 0, 1)T
1 1 1 1
3)
A
1 1
1 1
1 1
11。
1 1 1 1
1 1 1 1
解 det(I A) 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
r2 r4 0 2 0 2
r3 r4 0
1
0 2 2 1 1 1
1 1 1 3
c4 c2 0 c4 c3 0
第一章 矩阵的相似变换
§1 基本概念
例 求下列矩阵的特征值与特征向量：
1)
2 A 1
1 2
11；
1 1 2
2 1 1 解 det(I A) 1 2 1 r1 ( 2) r3
1 1 2 r2 r3
0 3 ( 2)2 1
0 3 1
1 1
2
( 3) 1 2 4 3 1 1
所以A1和A2的Jordan标准形分别为
1
J1
1 1，
1
J2 1
1 1
故A的Jordan标准形为
J J1
1
11
J2
1
1 1
1
例 已知多项式
f () 8 96 4 33 42 1 g() 3 52 7 3 求用 g()除 f () 所得的商式和余式。
故A不可对角化。
1 1 1 1
3)
A
1 1
1 1
1 1
11。
1 1 1 1
解 可求得 det(I A) ( 2)( 2)3
所以A的特征值为 1 2 3 2， 4 2
对应三重特征值2有三个线性无关的特征向量
(1, 1, 0, 0)T，(1, 0, 1, 0)T， (1, 0, 0, 1)T
2
J 2 1
2
2)
1 A 3
1 3
2 6
。
2 2 4
1 1
解 I A 3 3
2 6
c1( 1) c2
c3 2c2
2 2 4
0
( 2)
1
3
0
2
r2 ( 3) r1
r3 2 r
c1c2
2
2
1
0
0
0
( 2)
2
c2 2c3
0 2
写成分量形式为
d dt
y1
y1，
d dt
y2
2 y2，
d dt
y3
3 y3
解之得 y1 c1 et , y2 c2 e2t , y3 c3 e3t