【例1】 如图，在Rt ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上的点，且CE AF =．如果62AED ∠=︒，那么DBF ∠=__________．FCBA【答案】28︒【例2】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．PFEDCBA【答案】在ABE ∆和BCF ∆中AB BCABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE BCF ∆∆≌ ∴BAE CBF ∠=∠ ∵90BAE AEB ∠+∠=︒ ∴90CBF AEB ∠+∠=︒ ∴AE BF ⊥【例3】 E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．GA BC DEF【例4】 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩形周长为16，且CE EF =，求AE 的长．EDCBF A【答案】∵FE EC ⊥，∴90AEF DEC ∠+∠=︒．∵90AEF AFE ∠+∠=︒， ∴AFE DEC ∠=∠．在三角形AFE 与DEC ∆中，FE CE =，90A D ∠=∠=︒，AFE DEC ∠=∠，∴AFE DEC ∆∆≌． ∴AE DC =．∵矩形周长为16， ∴8AD DC +=． ∵AD AE DE =+，∴且2DE =．∴28AE DE =-．即3AE =【例5】 如图，已知ABC ∆中，90ABC AB BC ∠=︒=，，三角形的顶点在相互平行的三条直线123l l l ，，上，且12l l ，之间的距离为2，23l l ，之间的距离为3，则AC 的长是______．CBAl 3l 2l 1【答案】【例6】 两个全等的30︒、60︒的三角板ADE 、BAC ，如右下图所示摆放，E 、A 、C 在一条直线上，连结BD ．取BD 的中点M ，连结ME 、MC ，试判断EMC ∆的形状，并说明理由．ME DCBA【解析】判断EMC ∆是等腰直角三角形．理由：如图，连结AM ．DMBCA E∵30DAE ∠=︒，60BAC ∠=︒，∴90DAB ∠=︒ ∵ADE BAC ∆∆≌，∴AD AB =又∵M 是BD 的中点，∴AM DM BM == ∴45ADM MAB ∠=∠=︒∴6045105EDM EDA ADM ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ∴4560105MAC MAB BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ∴EDM MAC ∠=∠∵ED CA =，∴EDM CAM ∆∆≌ ∴EM CM =，DME AMC ∠=∠而90DME EMA ∠+∠=︒，∴90AMC EMA ∠+∠=︒ 即90EMC ∠=︒，∴EMC ∆是等腰直角三角形．【例7】 已知等腰直角三角形ABC ，C ∠为直角，M 为BC 的中点．CD AM ⊥．求证：AMC DMB ∠=∠．求证：AMC DMB ∠=∠．MDCBA【例8】 如图所示，已知在等腰直角三角形ABC 中，BAC ∠是直角，D 是AC 上一点，AE BD ⊥，AE 的延长线交BC 于F ，若A D B F D C ∠=∠，求证：D 是AC 的中点．F EDCBA【答案】过C 作CH 垂直于AC 交AF 延长线于H 点；易证ABD AHC ∆∆≌，HC AD =；进而证明FHC FDC ∆∆≌，得到HC CD =，则D 为AC 中点．H F EDCBA【例9】 如图所示，在等边ABC ∆中，DE BC ∥，O 为ADE ∆的中心，M 为BE 的中点，求证OM CM ⊥．【答案】如图所示，延长OM 至点N ，使OM MN =，连接OA 、OE 、OC 、BN 、CN ．M CBAED ON MCB AED O因为OM NM =，BM M E =，OME NMB ∠=∠， 故BMN ∆≌EMO ∆，则BN EO =，OEM NBM ∠=∠． 因为DE BC ∥，则DEB CBE ∠=∠，OED CBN ∠=∠．因为O 为ADE ∆的中心，则OA OE BN ==，30OAE OED CBN ∠=∠=︒=∠． 因为AC BC =，故AOC ∆≌BNC ∆，从而OC CN =． 因为OM MN =，故OM CM ⊥．【点评】如果具备三角形相似的知识，我们就可以采取下面的解法． 如图所示，取AE 的中点N ，连接MN 、OA 、ON 、OC ．因为O 为ADE ∆的中心，故30OAN ∠=︒，2OA ON =． 因为AN NE =，BM EM =，故2AB MN AC ==． 因为ON AC ⊥，MN AB ∥，故60MNE ∠=︒，因为30ONM ∠=︒，故O A C ∆∽ONM ∆，OMN OCN ∠=∠，则O 、M 、C 、N 四点共圆．因为ON AC ⊥，故OM CM ⊥．【例10】 已知P 为等腰直角ABC ∆的斜边AB 上任意一点，PE 、PF 分别为AC 、BC 之垂线，垂足为E 、F ．M 为AB 之中点．则E 、M 、F 组成等腰直角三角形．MP F EC BA【答案】解法一：如图，连接CM ，则CM 为AB 之中线，亦为AB 之高．PMBA F EC∴90CMA ∠=︒．∵90PEC PFC ECF ∠=∠=∠=︒， ∴ECFP 为矩形，故PE CF =． 又∵45A ∠=︒，∴AEP ∆为等腰直角三角形，∴AE PE =．∴AE CF =． 又∵CM AM =，45MCF A ∠=∠=︒， ∴AEM CFM ∆∆≌，∴AME CMF ∠=∠，EM FM =． ∵90CME AME ∠+∠=︒，∴90CME CMF ∠+∠=︒，即90EMF ∠=︒． ∴EM F ∆为等腰直角三角形． 解法二：如图，由M 作ME AC '⊥，MF BC '⊥，则显然由于M 为AB 之中点，AC BC =，AC BC ⊥，PMBA F E C F'E'Q∴ME CF ''为正方形，故M E M F ''=． 又设M E '交PF 于Q ， 则∵PE AC ⊥，PF BC ⊥，∴90EPF C ∠=∠=︒．而90PEE EE Q ''∠=∠=︒． ∴EE QP '为矩形，故EE PQ '=． 同理FF QM '=．又∵PF AC ∥，∴45QPM A ∠=∠=︒． ∴PQM ∆为等腰直角三角形， ∴PQ QM =，故EE FF ''=．又M E M F ''=，90EE M FF M ''∠=∠=︒．∴EEMFFM ''∆∆≌， ∴EM E FM F ''∠=∠，EM FM =． 又90E MF FMF ''∠+∠=︒， ∴90E MF EME ''∠+∠=︒．即90EMF ∠=︒，故M EF ∆为等腰直角三角形．解法三：如图，延长FM 到Q ，使MQ FM =，连接AQ ．PMBA F EC Q∵AM BM =，∴A 、F 、B 、Q 4点组成平行四边形． ∴AQ FB =，AQ FB ∥． 又∵BC AC ⊥，∴AQ AC ⊥， ∴90QAE FCE ∠=∠=︒．又∵PF BC ⊥，45B ∠=︒，∴FP FB =．同理EP AE =． ∵ECFP 为矩形，∴FP CE =，EP CF =，故AB ．而CM AB ⊥， ∴AQ CE =，AE CF =． ∴Rt Rt AEQ CFE ∆∆≌．∴EQ FE =，AQE CEF ∠=∠，QEA EFC ∠=∠． ∵90AQE QEA ∠+∠=︒， ∴90CEF QEA ∠+∠=︒．故PFQF= ∴FEQ ∆为等腰直角三角形．而M 为底边之中点，所以EM F ∆亦为等腰直角三角形．解法四：如图，连接CM ，则因为M 为AB 之中点，所以CM AB ⊥，CM 平分ACB ∠，即45MCB ∠=︒．由F 向MB 引垂线FQ ，向CM 引垂线FF '，显然F FQM'为矩形．则FF MQ '=．PM BA FECF'Q又∵CF F '∆为等腰直角三角形，CF '． 又∵PE AC ⊥，PF BC ⊥，AC BC ⊥， ∴ECFP为矩形，故EP CF ==．于是在Rt EPF ∆和Rt MQF ∆中，PF FB ==，PF QF =EPMQ= ∴PF EPQF MQ=，∴EPF MQF ∆∆∽，故EFP MFQ ∠=∠． 又∵45PFM MFQ ∠+∠=︒，∵45PFM EFP ∠+∠=︒，即PF BF =． 同理45FEM ∠=︒，EM F ∆为等腰直角三角形． 解法五：如图，连接CP 、CM ．PMBA F EC∵PF BF =，ABC ∆为等腰直角三角形， ∴45BPF BCM ∠=∠=︒．∴P 、C 、F 、M 4点共圆．∴CMF CPF ∠=∠．又∵CPF CEF ∠=∠，∴CEF CMF ∠=∠，∴E 、C 、F 、M 4点共圆． ∴45MEF MCF ∠=∠=︒，45MFE MCE ∠=∠=︒，∴iEMF 是等腰直角三角形．【例11】 长方形ABCD 中，4AB =，7BC =，BAD ∠的角平分线交BC 于点E ，EF ED⊥交AB 于F ，则EF =_________．FEDCB A【解析】由4AB =，AE 平分BAD ∠可知4BE AB CD ===． 由基本图可知BEF CDE ∆∆≌，故EF DE =又7BC =，4BE =，故3CE =．由勾股定理可知，5DE =． 从而可知5EF =． 【答案】5【例12】 如图，设ABC ∆和CDE ∆都是正三角形，且62EBD ∠=︒，则AEB ∠ 的度数是( )A ．124︒B ．122︒C ．120︒D ．118︒图1ADBCE【答案】分析 既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系．解 易知ACE BCD ∠=∠，AEC BDC ∆∆≌，于是EAC DBC ∠=∠,从而EBD CBD CBE EAC CBE ∠=∠+∠=∠+∠, 在考虑到360EAC AEC ACE CEB ECB EBD ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ,有：3606062360BEC AEC AEB ∠+∠=--=-∠ 从而122AEB ∠= ，选B 。

【例13】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．PDQCBEA【答案】如图，设CE 交BD 于F ．⑴ 由BD CA ⊥，CE AB ⊥，知90BEF CDF ∠=︒=∠．而BFE CFD ∠=∠， 故ABD QCA ∠=∠．由已知，有AB QC =，BP CA =，从而ABP QCA ∆∆≌， 即有AP AQ =．⑵ 由⑴可得AQC PAB ∠=∠，而 90AQC QEA QAE QAE ∠=∠+∠=︒+∠． PAB PAQ QAE ∠=∠+∠．从而可得90PAQ ∠=︒，即AP AQ ⊥．【例14】 如图，ABC ∆的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP ∆的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．⑴ 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；⑵ 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； ⑶ 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为⑵中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．图⑴lPC (F )B A (E )图⑵Q ←lPFE C B A图⑶←QAEB CF Pl4321A B C EFPlQN lPFCBEAQ【答案】（1）AB AP =；AB AP ⊥．（2）BQ AP =；BQ AP ⊥．①由已知，得EF EP EF FP =⊥，，∴45EPF ∠=︒． 又∵AC BC ⊥，∴45CQP CPQ ∠=∠=︒．∴CQ CP =． 在Rt BCQ ∆和Rt ACP ∆中，90BC AC BCQ ACP CQ CP =∠=∠=︒=，，，∴Rt Rt BCQ ACP ∆∆≌，∴BQ AP =． ②如图，延长BQ 交AP 于点M ． ∵Rt Rt BCQ ACP ∆∆≌，∴12∠=∠． 在Rt BCP △中，1390∠+∠=︒，又34∠=∠，∴241390∠+∠=∠+∠=︒．∴90QMA ∠=︒．∴BQ AP ⊥． （3）成立．①∵45EPF ∠=︒，∴45CPQ ∠=︒．又∵AC BC ⊥，∴45CQP CPQ ∠=∠=︒．∴CQ CP =． 在Rt BCQ ∆和Rt ACP ∆中，90BC AC BCQ ACP CQ CP =∠=∠=︒=，，，∴Rt Rt BCQ ACP ∆∆≌．∴BQ AP =．②如图，延长QB 交AP 于点N ，则PBN CBQ ∠=∠． ∵Rt Rt BCQ ACP ∆∆≌，∴BQC APC ∠=∠． 在Rt BCQ ∆中，90BQC CBQ ∠+∠=︒， ∴90APC PBN ∠+∠=︒．∴90PNB ∠=︒． ∴BQ AP ⊥．【例15】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC ⊥于G ．求证：BF CG =．EGF DC BADE 垂直平分BC ，∴BE CE =，AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，EG AC ⊥，∴EF EG =，又90BFE CGE ∠=∠=︒，∴Rt BEF ∆≌Rt CEG ∆(HL )，∴BF CG =，【例16】 如图，在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，,MN MD BN CBE ⊥∠平分，E 为AB的延长线上一点．求证：MD MN =．NM EDCB A【答案】取AD 的中点P ，连接MP ，证明PMD BNM ∆∆≌，于是MD MN =.【例17】 如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？N CDE B M A NCDEB M A【答案】猜测DM MN =.在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM = ∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【例18】 如图，点M 为正方形ABCD 的边AB (或BA )延长线上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，此时MD 与MN 有何数量关系?并加以证明．CD NEM B A【答案】猜测MD MN =，延长AD 至点P ，使DP BM =，连结PM ．P CDNEM B A∵DC AM ∥， ∴CDM DMA =∠∠， ∴PDM BMN =∠∠， 而45APM NBM ==︒∠∠， ∴PDM BMN ∆∆≌， ∴MD MN =【例19】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?NEB M A D【答案】猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，GNEB M A D∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠= ∠，120DMA NMB += ∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN == ∠∠，∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【例20】 已知，ABC ∆中，3AB =，120BAC ∠=︒，1AC =，D 为AB 延长线上一点，1BD =，点P 在BAC ∠的平分线上，且满足PAD ∆是等边三角形． ⑴ 求证：BC BP =； ⑵ 求点C 到BP 的距离．CB P DAEDC BA【答案】⑴ 解法一：连结PC∵11AC BD ==，，∴AC BD =， ∵120BAC ∠=︒，AP 平分BAC ∠， ∴1602CAB BAC ∠=∠=︒，∵PAD ∆是等边三角形，∴60PA PD D =∠=︒，， ∴CAB D ∠=∠，∴PAC PDB ∆∆≌， ∴PC PB APC DPB =∠=∠，， ∴60APC APB DPB APB BPC DPA ∠+∠=∠+∠∠=∠=︒，， ∴PBC ∆是等边三角形，BC BP =．解法二：作BM PA ∥交PD 于M ，证明PBM BCA ∆∆≌， 证明过程略．MADP B CNFEAD PBC⑵ 解法一：作CE PB ⊥于E ，PF AB ⊥于F ． ∵31AB BD ==，，∴4AD =， ∵PAD ∆是等边三角形，PF AB ⊥，∴12sin602DF AD PF PD ===⋅︒=，∴1BF DF BD BP =-=，∴sin 60sin 60CE BC BP =⋅︒=⋅︒， 即点C 到BP． 解法二：作BN DP ⊥于N ， ∴12DN =，72NP DP DN =-=，BN =，∴BP =以下同解法一．【例21】 如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE与AC CD +相等的理由．EDCBA【答案】∵AC AB =，CAE BAD ∠=∠，AE AD =∴AEC ADB ∆∆≌ ∴CE BD =又∵BD BC CD AC CD =+=+ ∴CE AC CD =+【例22】 如图，在四边形ABCD 中， AD BC ∥，点E 是AB 上一个动点；若60B ∠=︒，AB BC =，且60DEC ∠=︒，判断AD AE +与BC 的关系并证明你的结论．EDCB A【答案】过点E 作EF BC ∥交AC 于F ．F ABC DE∵60AB BC B =∠=︒，，∴ABC ∆是等边三角形， 由EF BC ∥易知，AEF ∆也是等边三角形， ∴60AE FE AEF AFE BE CF =∠=∠=︒=，，， ∵AD BC ∥，∴180120EAD B ∠=︒-∠=︒，且120EFC ∠=︒， ∵60DEC AEF ∠=∠=︒，∴AED FEC ∠=∠， ∴()ASA AED FEC ∆∆≌，∴AD FC BE ==， ∴AB AE BE AE AD =+=+，∴BC AD AE =+．【例23】 已知，在ABC ∆中，ACB ∠为锐角，D 是射线BC 上一动点(D 与C 不重合)，以AD为一边向右侧作等边ADE ∆(C 与E 不重合)，连接CE ．⑴ 若ABC ∆为等边三角形，当点D 在线段BC 上时(如图1所示)，则直线BD 与直线CE 所夹锐角为 度；⑵ 若ABC ∆为等边三角形，当点D 在线段BC 的延长线上时(如图2所示)，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？请说明理由； ⑶ 若ABC ∆不是等边三角形，且BC AC >(如图3所示)．试探究当点D 在线段BC上时，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当ACB ∠满足什么条件时，能使⑴中的结论成立，并说明理由．图1FED C B A图2B C D F AE图3B CFAGEDF CBA【答案】⑴ 60︒；⑵ 成立．∵ABC ∆是等边三角形，∴60AB AC BAC =∠=︒，， ∵ADE ∆是等边三角形，∴60AD AE DAE =∠=︒，， ∴BAD CAE ∠=∠，∴()SAS BAD CAE ∆∆≌， ∴60ACE ABD ∠=∠=︒， ∵120ACD ∠=︒，∴60ECF ∠=︒， 即直线BD 与直线CE 所夹锐角为60︒．⑶ 原结论不成立．当60ACB ∠=︒时，才能使⑴中的结论成立． 当60ACB ∠=︒时，在BC 上取一点G ，使得CG AC =， 则AGC ∆是等边三角形，∴60AG AC GAC =∠=︒，， ∵ADE ∆是等边三角形，∴60AD AE DAE =∠=︒，， ∴GAD CAE ∠=∠，∴()SAS GAD CAE ∆∆≌， ∴60ACE AGD ∠=∠=︒，∴180180606060ECF ACG ACE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒． ∴当60ACB ∠=︒时，能使⑴中的结论成立．【例24】 如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【答案】∵ABC ∆是等边三角形，∴60ACB ∠=︒，AC BC =．∴60BCD DCA ∠+∠=︒，同理60ACE DCA ∠+∠=︒，DC EC =．∴BCD ACE ∠=∠ 在BCD ∆与ACE ∆ 中，BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCD ACE ∆∆≌，∴BD AE =．【例25】 如图，ABD ∆和CED ∆均为等边三角形，AC BC =，AC BC ⊥．若BE =CD = ．图6DECB A【解析】易知CDB ∆≌CDA ∆≌EDB ∆，从而BC AC BE ==2AB =，由CDA CDB ∠=∠知CD 是ABD ∆一条高的一部分，1．1．【例26】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM CN =．NMEDCBA【答案】∵ABC ∆与DCE ∆都是等边三角形∴BC AC =，CD CE =及60ACB DCE ∠=∠=︒ ∵B ，C ，E 三点共线∴180BCD DCE ∠+∠=︒，180BCA ACE ∠+∠=︒ ∴120BCD ACE ∠=∠=︒ 在BCD ∆与ACE ∆中BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCD ACE ∆∆≌， ∴CAN CBM ∠=∠∵120BCD ACE ∠=∠=︒，60BCM NCE ∠=∠=︒ ∴60ACD ∠=︒ 在BCM ∆与ACN ∆中60BC AC BCM ACN CBM CAN =⎧⎪∠==︒⎨⎪∠=∠⎩∴BCM ACN ∆∆≌，∴CM CN =．【例27】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．请你证明：（1）AN BM =； （2）DE AB ∥；（3）CF 平分AFB ∠．M D NEC BFA【答案】此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．60MCN ∠= 与三角形各内角相等，及平行线所形成的内错角及同位角相等； 全等三角形推导出来的对应角相等… 推到而得的：AFC BFC ∠=∠；AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =； AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥ACN MCB ∆∆≌，ADC MCE ∆∆≌，NDC BEC ∆∆≌； DEC ∆为等边三角形．（1）∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形， ∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =（2）由ACN MCB ∆∆≌易推得NDC BEC ∆∆≌，所以CD CE =，又60MCN ∠= ， 进而可得DEC ∆为等边三角形．易得DE AB ∥． （3）过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，G M H DNEC BF A由ACN MCB ∆∆≌，利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．【例28】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E是BM 中点，求证：CDE ∆是等边三角形．M DNECBA【答案】∵ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =，ABM ANC ∠=∠又∵D 、E 分别是AN 、BM 的中点，∴BCE NCD ∆∆≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠ ∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠= ∴CDE ∆是等边三角形【例29】 如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是( )PMBC DEAA ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形【答案】易得ACD BCE ∆∆≌．所以BCE ∆可以看成是ACD ∆绕着点C 顺时针旋转60︒而得到的．又M 为线段AD 中点，P 为线段BE 中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得．所以CP CM =且，60PCM ∠=°，故CPM ∆是等边三角形，选C ．【例30】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．HG NM CBA【答案】由ACN MCB ∆∆≌，利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得到CG CH =．【例31】 平面上三个正三角形ACF ，ABD ，BCE 两两共只有一个顶点，求证：EF 与CD平分．FE DCBA【答案】连接DE 与DFFE DCBA∵DBA EBC ∠=∠，BAD CAF ∠=∠ ∴DBE ABC ∠=∠，BAC DAF ∠=∠ ∴在DBE ∆与ABC ∆中 DB AB DBE ABC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)DBE ABC ∆∆≌ ∴DE CA FC == 在D FA ∆与BCA ∆中 DA BA DAF BAC AF AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)DFA BCA ∆∆≌ ∴DF BC EC == ∴DECF 为平行四边形， ∴EF ，CD 互相平分．【例32】 已知：如图，ABC ∆、CDE ∆、EHK ∆都是等边三角形，且A 、D 、K 共线，AD DK =．求证：HBD ∆也是等边三角形．EKHCDBA【答案】连接CH 交AD 于点M ，连接BE BM ，， HE由CDE HEK ∆∆，均为等边三角形，可证得EDK ECH ∆∆≌ ∴DK CH =，CHE DKE ∠=∠ ∴60HME HEK ∠=∠=︒于是A M B C ，，，四点共圆，B M H D ，，，四点共圆， ∴HCB DAB BDA BHC ∠=∠∠=∠，∴BDA BHC ∆∆≌∴BH BD =，60HBD ∠=︒ ∴BHD ∆为等边三角形【例33】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG =．G FE DCBA【关键词】2008年怀化市中考 【解析】【答案】∵ADC EDG ∠=∠∴CDG ADE ∠=∠ 在CDG ∆和ADE ∆中CD AD CDG ADE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDG ADE ∆∆≌ ∴AE CG =【例34】 以ABC ∆的两边AB AC ，为边向外作正方形ABDE ACFG ，，求证：CE BG =，且CE BG ⊥．GOFEDCB A【答案】易证AEC ABG ∆∆≌，故ACE AGB ∠=∠，又A C A G ⊥，AOG BOC ∠=∠，故C E BG ⊥．【例35】 如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的高，其反向延长线交FH 于M ，求证：(1)BH CF =；(2)M F M H =GHM FED CBA【答案】证明△ABH ≌△AFC ；（1）作FP MD P ⊥于，HQ MD Q ⊥于， 先证△AFP ≌△BAD ，△ACD ≌△HAQ ， 再证△FPM ≌△HQM【例36】 如图1，若ABC ∆和ADE ∆为等边三角形，M N ，分别EB CD ，的中点，易证：CD BE =，AMN ∆是等边三角形．（1）当把ADE ∆绕A 点旋转到图2的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当AD E ∆绕A 点旋转到图3的位置时，AMN ∆是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当2AB AD =时，ADE ∆与ABC ∆及AMN ∆的面积之比；若不是，请说明理由．图1N M E DC BA图2A BC DEMN 图3A BCDE MN【答案】（1）CD BE =．理由如下:∵ABC ∆和ADE ∆为等边三角形∴AB AC =，AE AD =，60BAC EAD ∠=∠=︒∵60BAE BAC EAC EAC ∠=∠-∠=︒-∠，60DAC DAE EAC EAC ∠=∠-∠=︒-∠， ∴BAE DAC ∠=∠， ∴ABE ACD ∆∆≌∴CD BE =（2）AMN ∆是等边三角形．理由如下： ∵ABE ACD ∆∆≌， ∴ABE ACD ∠=∠．∵M N 、分别是BE CD 、的中点， ∴1122BM BE CD CN === ∵AB AC =，ABE ACD ∠=∠， ∴ABM ACN ∆∆≌． ∴AM AN MAB NAC =∠=∠，．∴60NAM NAC CAM MAB CAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴AMN ∆是等边三角形． 设AD a =，则2AB a =． ∵AD AE DE AB AC ===，， ∴CE DE =．∵ADE ∆为等边三角形， ∴12060DEC ADE ∠=︒∠=︒，，∴30EDC ECD ∠=∠=︒， ∴90ADC ∠=︒∴在Rt ADC ∆中，AD a =，30ACD ∠=︒， ∴CD =． ∵N 为DC 中点，∴DN =，∴AN ==． ∵ADE ∆，ABC ∆，AMN ∆为等边三角形， ∴()2227:2:1:4:4:16:74ADE ABC AMNS S S a a ⎫===⎪⎪⎝⎭∶∶ 解法二：AMN ∆是等边三角形．理由如下： ∵ABE ACD ∆∆≌，M 、N 分别是BE 、CN 的中点，∴AM AN NC MB ==，． ∵AB AC =，∴ABM ACN ∆∆≌，∴MAB NAC ∠=∠，∴60NAM NAC CAM MAB CAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴AMN ∆是等边三角形设AD a =，则AD AE DE a ===，2AB BC AC a ===易证BE AC ⊥，∴BE ==，∴EM = ∴AM == ∵ADE ∆，ABC ∆，AMN ∆为等边三角形∴()2227:2:1:4:4:16:74ADE ABC AMNS S S a a ⎫===⎪⎪⎝⎭∶∶。