第9讲 几何变换之旋转（2）
一、大角夹半角模型
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大角夹半角模型
⑴ 正方形
中，
可得：①
；②
， ．
⑵ 等腰直角
中，
，可得
．
经典例题
例题1
如图所示，在等腰直角
的斜边 上取两点 、 ，使
，记
，
，
，求证：以 、 、 为边长的三角形的形状是直角三角形．
答案 证明见解析． 解析 方法一：如图，作
于且
，连接 、 ，
．
∴
．
又∵
，
∴
≌
，
E
∴
，
．
∵四边形
是菱形，
∴
，
．
由
，
且菱形
的对角线 恰好与菱形
的边 在同一条直线上，
可得
．
∴
．
∵四边形
是菱形，
∴
，
∴
．
∴
≌
，
∴
，
．
∴
，
即
．
∵
，
，
∴
，
．
∴
．
标注 四边形 > 四边形综合 > 四边形综合应用 > 题型：菱形与全等综合
三、三角形的费马点问题
经典例题
例题5
在
中，
，
，
，点 为
例题7
已知 是 求证：
内一点，
；是 ．（ 为费马点）
内任一点，
答案 证明见解析．
解析 以 为旋转中心， 为旋转角，将点 、 、 分别旋转到点 、 、 ，连结 、 ．
则
、
都是正三角形．
∴
，
．
显然
≌
，
≌
．
由于
，
∴ ， ， ， 四点共线．
∴
，即
．
标注 几何变换 > 旋转 > 旋转基础 > 题型：旋转性质应用
(2) 将图甲中
绕 点顺时针旋转 得图乙，连接 ，取 的中点 ，问（ ）中的结论是
否成立？
(3) 将图甲中
绕 点转动任意角度（旋转角在 到 之间）得图丙，连接 ，取 的中
点 ，问（ ）中的结论是否成立，请说明理由．
答案
(1)
且
(2) 结论仍然成立．
(3) 仍然成立．
解析 (1) 连结
∵
在
和
故
(2) 结论仍然成立．
旋转到 ′ ，则 ′在 的延长线上，
′在 ′上，且 ′
∴
′
′
， ′， ′
于是
′
′≌
′
′
′≌
′
这就证明了题中的三个条件等价．
标注 四边形 > 特殊四边形 > 正方形 > 题型：正方形的性质
二、类旋转
经典例题
例题3
已知正方形
和等腰
，
，
的中点 ，连接 、 ．
，按图甲放置，使点 在 上，取
(1) 探索 、 的数量关系和位置关系，并说明理由．
为直角三角形，
并且可得
，
，
．
故在
中有
．
标注 三角形 > 全等三角形 > 全等模型 > 题型：旋转型全等
例题2
如图， 、 分别为正方形
的边 、 上的点，线段 、 分别交对角线 于 、 两
点．求证下列三个条件只要有一个成立，那么另外两个也成立：①
；②
；③
．
答案 证明见解析． 解析 如图所示，作旋转变换，将
，
∴
是等边三角形，
∴
,
,
∵
是
旋转得到，
∴
≌
．
∴
，
，
，
∴
，
∴ 、 、 、 四点共线，
∴
，
在
中，
，
即
．
标注 三角形 > 全等三角形 > 全等模型 > 题型：旋转型全等
例题6
如图，四边形
是正方形，
是等边三角形， 为对角线 （不含 点）上任意一点，将
绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 ．
（1）求证：
≌
；
，
接下来可先证明
≌
，然后再证明
≌可．
此证法观察图形其本质也是利用旋转在构造全等三角形．
证法三：如图，分别取 、 中点为 、 ，连结 、 、 、 ．
观察后很容易发现：
只要证明
≌
，问题马上就可以解决．
而且不难发现证明全等的条件也是够的：
，
，
且
，
∴
≌
，
∴
，同时
也很容易证明．
此证法利用了中位线和直角三角形斜边中线的性质构造线段相等．
内一点，连接 、 、 ，且
，按下列要求画图（保留画图痕迹）．
以点 为旋转中心，将
绕点 顺时针方向旋转 ，得到
（得到 、 的对应点分别为点
、 ），并回答下列问题：
(1) (2) 求
，
．
的值．
答案
(1) 1．
2．
(2)
．
解析
(1) ∵
，
，
由勾股定理得：
∵
，
∴
，
由题可知
，
∴
．
(2) 连接 ，
， ，
，
∵
，
值最小．
理由如下：连接 ，由（1）知，
≌
，∴
，
∵
,
，∴
是等边三角形．
∴
．∴
．
根据“两点之间线段最短”，得
最短．
∴当 点位于 与 交点处时，
的值最小，即等于 的长．
（3）过 点作
交 的延长线于 ，
∴
°．
设正方形边长为 ，则
，
．
在
中，∵
，
∴
解得
，
A
（舍）．∴正方形的边长为 ．
D
E
N
M
F
B
C
标注 几何变换 > 旋转 > 旋转基础 > 题型：旋转性质应用
的边
在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 ）．你在（ ）中得到的两个结论是否
发生变化？写出你的猜想并加以证明．
答案
(1) ． (2) （ ）中的结论没有发生变化，证明见解析．
解析
(1) 线段 与 的位置关系是
；
．
(2) 如图，延长 交 于点 ，连结 ， ．
E 图
∵ 是线段 的中点，
∴
．
由题意可知
∵
是等腰直角三角形
∴
，
，
∴
在
与
中，
∴
≌
（）
∴
，
，
∵
∴
∴
∴
在
与
中，
∴
≌
（ ），
∴
，
在
中，
∴以 、 、 为边长的三角形的形状为直角三角形．
方法二：如图所示，将
绕点 顺时针旋转 ，得到
．
连接 ，则
，
，
，
故
，
从而
≌
，
则
．
而
．
方法三：用“对称变换”也能得到解答．
如图所示，以 为对称轴将
翻折到
的位置．
易证
和
关于 对称，且
标注 四边形 > 四边形综合 > 四边形综合应用 > 题型：正方形与全等综合
例题4
问题：如图 ，在菱形 结 ， ．若
和菱形
中，点 ， ， 在同一条直线上， 是线段 的中点，连
，探究 与 的位置关系及 的值．
图
(1) 探究 与 的位置关系及数量关系．
(2) 将图 中的菱形
绕点 顺时针旋转，使菱形
的对角线 恰好与菱形
（2）①当 点在何处时，
的值最小；
②当 点在何处时，
的值最小，并说明理由；
（3）当
的最小值为
时，求正方形的边长．
A
D
E
N
M
B
C
答案 （1）略； （2）略； （3）
解析 （1）证明：∵
是等边三角形，∴
，
∵
，∴
即
．又∵
，∴
≌
（2）①当 在 的中点时， 、 、 三点共线，
． 值最小．
②如图，连接 ，当 是 与 交点时，
思维拓展
拓展1
请阅读下列材料：
已知：如图 ，在
中，
，
，点 、 分别为线段 上两动点，若
．探究线段 、 、 三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把
绕点 顺时针旋转 ，得到
，连结 ，
使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
图 (1) 猜想 、 、 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明．
，∴ 三点共线 中， 为公共斜边 的中点，
(3) 仍然成立．证法一： 如图，延长 到 ，使
，（相当于将
旋转到
）
连结 ， ， ， 可证明
∴
，
又
∴
．
∴
≌
，
∴
，
∴
．
≌ ，
．
，
．
∴
．
在
中， 是 中点，
∴
，
．
证法二：如图，以 为边向下作正方形
，延长 到 使
．
容易得到：
，
，因此只要证明
即可．
由辅助线易得
是等腰直角三角形，