第一章例题例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成].；平面上的何种曲线?(1)以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧；(2)倾角二的直线；(3)双曲线''■='。

解设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7= y + jv = Λ(cos<p +JSin φ)，则R = r2jφ = 2θ因此(1)在口平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。

2π φ ~—(2)在口平面上对应的图形为：射线J 。

2 2 2 2 2(3)因，故;"r ?'',在F平面上对应的图形为：直线金松“。

例1.2设」「在点[连续，且在点的某以邻域内恒不为0.证因在点勺连续，则能〉0,站〉0,只要k-2ol<^,就有∣⅛)√(¾)∣<≡∖X nE . --------- > 0特别，取- ，则由上面的不等式得∣∕(z)∣>l∕(z o)∣-^ = M>0因此，f②在匚邻域内就恒不为0。

例1.3设/⑵ 4C ri)(3≠o)试证一在原点无极限，从而在原点不连续。

证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则而沿第一象限的平分角线 故「匚在原点无确定的极限，从而在原点不连续。

第二章例题例2.1 北）= 匚在二平面上处处不可微 证易知该函数在二平面上处处连续。

但Δ/ _ z+∆z -z _ ∆z∆z ∆z ∆z零时，其极限为一1。

故匚处处不可微。

证因UaJ ）二倆，呛J ） = C I 。

故但/(⅛) - /(0) _ λj⅛j∆z ⅛ + i∆y从而（沿正实轴。

一 H ）当I: 「时，极限不存在。

因二取实数趋于O 时，起极限为1 ,二取纯虚数而趋于例2.2在了 — 1满足定理 2.1的条件，但在_ I.不可微。

M (ΔJ 7O)-⅛(O,O) = 0 = v∕0,0)(O f O) =Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay在二■ I时无极限，这是因让亠一丄 7'沿射线八—7：' J随二；■.2例2.3讨论/⑵=IZ I的解析性解因•,故UJ = 2扎- 2y f V r=VJ =O要使C-K条件成立，必有2x = 0,2I y = 0,故只在一I可微，从而，处处不解析。

例2.4讨论/⑵=H '/的可微性和解析性解因■- ".^1■'' 'l'■：■■「，故Ul = 2x t Uy = O3V Jf = O l VJ=-I要使」一条件成立，必有2I = -I) 0 = 0 ,故只在直线二1上可微，从而，处处不解析。

例2.5 讨论一二「…厂TQ-J的可微性和解析性，并求一''o解因w⅛j) = ^COSy I V(XJ)二/血P ,而= e x CoS i y r U y= 一/ Sin y fV IC-S Sln y f V y= & COS I y在复平面上处处连续且满足「：.条件，从而在二平面上处处可微，也处处解析。

且f(z)=叭+叽二/c艸y+ihsiny = /⑵O例2.6设卍-确定在从原点匚■起沿负实轴割破了的一'平面上且b■.- ,试求 /之值。

解设匚，则0纠TW上二VPE 3t k~ 0X2J M JT <θ <n由代入得而趋于零，即知上式趋于一个与#1 T有关的值:--VLna- In a + 2kπi, Ct = 0+1,);Z Λ(-Λ) = In at + (2t + I)F t (Jb = 0,±1「); ln( -1) = In 1 + J SΠ = m t例2.8考查下列二函数有哪些支点(a) . 'l: l ^ Z 1 ■(b 」一;—二解 (a )作一条内部含 O 但不含1的简单闭曲线-」，当」沿-一正方向绕行一周时 匚的辐 角得到增量一：,1 二的辐角没有改变，即Δ q i arg z = 2πrΔft aιgCl -^) = Δαarg(z-l)=O从而△ q arg/(Z) =-[Δς argz÷∆c o ^(I -刃]=∙^[2Λ^ + 0] = r故/匚 的终值较初值增加了一个因子 孑”二-1 ,发生了变化，可见0 是-二_的 支点。

同理1也是其支点。

任何异于0，1的有限点都不可能是支点。

因若设 -■是含■' (≠ Ox 但不含0，1的简-J∆c arg∕⑵=二血畤+ 歸 arg(l-z)]故的终值较初值增加了一个因子 :"-：,未发生变化。

最后.■-厂' 不是 ∕⅛）二 ΛJ⅛-Z ） 的支点。

因若设 「含0， 1的简单闭曲线，则AC⅛) = τ[i c ar E z +A C 前g(l-z)] =-[2π + Ξ^] = 2π故」L ：*的终值较初值增加了一个因子 二 -，未发生变化。

含1但不含O ,和既含O 又含1的简单闭曲线，则△q ai∙g∕W=-[Δq 遵£+ Aq 吨(1-可]1 2 = -[0 + 2c] = -π 3 3结果；-的终值较初值均发生了变化。

故 0，1,工】都是支点，此外别无支点。

例2.9试说明- 1在将二平面适当割开后能分出三个解析分支。

并求出在点』二:取负值的那个分支在 ■: 一丨的值解 易知的支点是；••■ L 。

因此，将3平面沿正实轴从 O 到1割开,再沿负实轴割开。

在这样割开后的 平面」上，—'、「- 能分出三个解析分支。

现取一条从「一 •到：的有向曲线「（不穿过支割线），则∆c argz = ^r ACarg(I-Z)二 +于是单闭曲线，则，IC 。

设 C （X C分别是含O 但不含1,(b )∆c arg∕(∑)= -[∆c ar g z ÷i c^(l-^]又由题设，可取 arg J f⑵二凭 。

故得 .Srr 5胃，/(J )二 VlJI -∣ι-f ∣ 小百方二 r 层刃 (3)关于对数函数的已给单值解析分支IO ⑵ ,我们可以借助下面的公式来计算它的终值： In /(z 3) =h ∣∕(z a )∣4iarg∕(z a )即=In l∕(¾) I +i[arg∕(zj - arg√⅛)+arg∕⅛1)]l∏∕(¾)=h∣∕(¾)l⅛aiE∕(^+i 晩馆)其中L J 是一条连接起点一 1和终点-亠且不穿过支割线的简单曲线； 处畑 是满足条件那一支在起点一1之值的虚部，是一个确定的值。

2例2.10试说明恥)在割去从-1至打的直线段”从到1的直线段”与射线“ •且丨一 ”的匚平面内能分出单值解析分支。

并求匚■时等于零的那一支在匚-的值。

2I .解∙' J •_ r l 的支点为F - U 'Y 。

这是因In(I-?) = In(I-Z) ÷l∩(l,+z) 当变点单绕二［一周时，∆c ∣ιrg(l -z) = 2 JF∆c arg(l+z) =0故u -f 的值增加了 2戸，二— 的值未改变，从而，门一 的值增加了, 从一支变成另一支。

故二一是支点，同理—I ■也都是支点，此外无其它支点。

故Ln(I-Z 在割去 从-1至打的直线段” 从i 到i 的直线段”与射线 “0且『31”的2平 面内能分出单值解析分支。

现设「是一条连接起点二二■■和终点I - ■且不穿过支割线的简单曲线。

贝U∆σarg(l-z 2) =∆σarg(l+z)(l-z)=Δc argU+z) +∆c arg(l - Z)=O + ^ = J JrIn/(z a)=ln I/(¾) ∣+ι∆c arg/(Z) +rarg/(z1) =In I (1一，)I + 诡+iθ = In3+诡这就是所要求之值。

例2.11 求反正弦」〔丄一 _。

ArC sin 2 = -⅛ (2r ±V¾)二-j£«[(2 ± V3); ]|("0.±l∙±2,…)Qa ±1，±N …)第三章例题例3.1命-表连接点」及的任一曲线，试证(1)/ ⑵= ∖,S n=^(z fL-Z^) = b-a证 (1)因，故IirnT 二b-aJi→roInaψk fc∣→O,即 L一IJ(2) 因匚，选-「1则得∑1-2√ ⅛ι (⅞ -⅛1)，但我们又可选」-■，则得∑2二另左血-%)⅛-l/血存在，因而&的极限存在，且应与及》由定理3.1,可知积分」j 的极限相+∑2)等，从而应与-一的极限相等。

今1 1 S 1姐+Σ亠扭W=AF)∖zdz = -(⅛2- a2')所以」_ 。

^dZ -O J^ZdZ - 0注当」为闭曲线时,例3.2 (重要的常用例子)『dz_ ∫ 2ffj j{n = 1)L(Z-Q)JI O,(冋H 啲整数)这里」表示以“为心，"为半径的圆周。

(注意，积分值与」，"均无关)。

j证-的参数方程为O故[广 cos(w -1)蠢 0 -『Sin(^ T)£0]证 _'的参数方程为Z = (I-∕)i+t(2+i)(0≤∕≤l)Z-2t+i(0≤i≤l)沿一',连续，且而」之长为2 ,故由定理3.2， 例3.4计算积分其中积分路径-为：（1） 连接由点-■到点1「的直线段；（2） 连接由点到点1的直线段及连接由点 1到点1 一的直线段所组成的折线。

解 （1）连接一■及「！的直线段的参数方程为：XIr （：_〔），1 4?Ti<1 If- ⅛<2 试证 「丨 。

积分路径 _'是连接「和一’的直线段例3.3ReZd⅛ = [ {Re[( l + i)f]}(] + i)衣。

(l+ι)Pdf 二字（2）连接J 与1的直线段的参数方程:连接点1与丨「的直线段的参数方程为:Z=(I-C+α+i)i , (o≤f≤D由此例可以看出，积分路径不同，积分结果可以不同。

Γ-(Z e D -π <^gz <π}例3.5计算积分 ：. ^_ , . lnz⅞∕⑵二一 f （z ）解 在单连通区域 二：’ H - ■-内，函数 一的一个原函数，且二 在一内解析，故由牛顿 一莱布尼兹公式 有『—= Ing-Inl = Ing(ZED)例3.6计算下列积分（1） Lj 「—，Γ ] 占 -（2） ,其中C 为右半圆周，*=∖R E 220 ,起点为一孑，终点为2；（3） ' 」 那-支。

解（1）因为血（l + z ）的支点为-L OO ,所以它在闭圆IEa （O V 厂51）上单值解析。