C 0 1
2)： C1 C2 , 其中C1：z t ,0 t 3, C C2 : z 3 it,0 t 4 故 zdz tdt (3 it )idt
C 0 0 3 4
4.5 12i 8 3.5 12i
例2、 z dz C：从原点到点（ i） 1
§3 初 等 函 数
实变函数中有五种基本 等函数： 初 e x , log a x , x n , sin x , Arc sin x
用有限次四则运算和复 运算得到一般初等函 。 合 数
推广到复数域，有五种 初等函数： e z , Lnz , z a , sin z , Arc sin z
△ △ △
二、五种初等函数：
函数
解析性
处处解析 e
e
z

z

多值性
单值
ez 0
周期 2 i
Lnz
除原点和负实轴外
Lnz

1 z
多值 多值
单值奇 单值偶 单值奇
z
a
除原点和负实轴外
az a 1 sin z 1 处处解析
a
z

sin z cos z shz chz
处处解析 处处解析 处处解析
i n r

2
0
e
in
2 i n 0 d n0 0
记住：
z z0 r
dz 2 i z z0
3、积分的基本性质：
（定义形式相似，有一 些与实变函数类似）
k f ( z )dz k f ( z )dz （k为 复 常 数 ）

f ( z ) g( z )dz C C
1、指数函数：e（周期）
z
定义f ( z ) e 满足 3个条件：
z
f ( z )在复平面内处处解析； z ( z ) e e z f

Im( z ) 0时有e z e x
f(z) e e
z
x iy
e (cos y i sin y )
x
z
满足上述3个条件，称为复变数z的指数函数
iz iz
三角函数性质：
周期为2的周期函数 : s in(z 2 ) s in z , cos (z 2 ) cos z 在复平面内处处解析； s in z cos z , cos z s in z 欧拉公式仍然成立； e iz cos z i s in z 三角公式一些仍然成立； cos (z1 z 2 ) cos z1 cos z 2 s in z1 s in z 2 s in(z1 z 2 ) s in z1 cos z 2 cos z1 s in z 2
C 0 0 1 1
* 一个重要例子
2 i n 0 dz 例3、 证明： n 1 n0 0 z z0 r z z0 解：C的方程：z z0 re i ,0 2。因此
2 dz irei r z z0 n1 0 r n1ei ( n1) d z z0
C
C：（0， 1， 0） （ 1 ）直线段 : x y t C：（0， 1， 1， 0） （ 0） （ 1 ） 解 : z dz (t it )(1 i )dt 1
C 0 1
z t (x t, y 0),0 t 1 ：C的方程： z 1 it (x 1, y t),0 t 1 故 z dz tdt (1 it )idt 0.5 i (1 0.5i ) i
cos z 1
2 2
2 i
2 i
单值偶
（2）线积分的计算方法：
通过两个二元线积分求 ：

C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
C C
( u iv )( dx idy )
C
当曲线C可表示为参数方程时： z ( t ) t z
C1 C2
1 1 dz dz | z | r1 z | z | r1 z 1 1 1 dz dz 4i | z 1| r2 z | z 1| r2 z 1
定理3：f ( z )若在单连通域D内解析，则
例1：求积分 z cos zdz ?
0

z
z0
f ( z )dz F ( z ) F ( z0 )
i
解：因z cos z在全复平面内解析， z sin z cos z是z cos z的一个原函数， 由定理3，有

i
0
z cos zdz [ z sin z cos z ]i0
1 1
i sin i cos i 1 e e e e 1 i 1 e 1 2i 2
k 1 Ck n
2z 1 1 1 解：分解：f ( z ) 2 z z z z 1 f ( z )在内有两个奇点：z 0,1 寻找C1 , C2 , 令C1：z | r1 , C2 :| z 1 | r2 | 使C1 , C2在的内部，则f ( z )在, C1 , C2所 围的区域内解析。 f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
高 层 中 层 低 层
f ( z )在D内解析
f ( z )在D内可导
f ( z )在z0解析
f ( z )在z0可导
f ( z )在z0连续
连续、点解析、区域解析关系多； 复变可导不但实部和虚 部必须可导， 而且它们之间还要有特 殊的联系。
C C

C
C
f ( z )dz g ( z )dz
C
f ( z )dz
f ( z )dz
当C的长度为 , f ( z )在C上满足 f ( z ) M L 则：

C
f ( z )dz ML （有界）
柯西定理: （1）如果f(z)在单连通区域D内处处解析，
则：f(z)沿D内任何一条封闭曲线C的 积分为0，即
2、复数四种表示方法：
1）复数的模与辐角：
模： z x y
2 2

y 辐角： tg 有无穷多个 x z 0时 不确定
全部辐角 Argz 0 2k arg z 2k 辐角主值 arg z 0 ( 0 )
2）三角表示法： z (cos i sin ) 3）指数表示法：
C
1) C : 从z 0到点z 3 4i的直线； 2) C : z 0 z 3 z 3 4i。 解1)：C的方程：z 3t 4ti( x 3t , y 4t ), t [0， 1] 故 zdz (3 4i ) 2 tdt (3 4i ) 2 / 2 3.5 12i

C
f ( z )dz f z ( t )z ( t )dt

C为分段光滑曲线： C1 C 2 C n C
C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2
Cn
f ( z )dz
例1、 zdz C：从z 0到点z 3 4i
提供了判断函数是否可导的方法； 给出了求导公式。 u v v u f ( z ) i i x x y y
例：f ( z ) z 2
2 2 2 2
在复平面解析
2
f ( z ) z x y i 2 xy u x y 和v 2 xy在平面上每点可微，且 u / x v / y 2 x, u / y v / x 2 y
x x

4、三角函数和双曲函数：（周期）
三角函数：
e e 余弦函数： z cos （偶函数） 2 e iz e iz 正弦函数： z sin （奇函数） 2i sin z 正切函数： z tgz tan cos z cos z 余切函数： ctgz sin z 正(余)割函数： z 1 / cos z; csc z 1 / sin z sec
定理1：f ( z ) u ( x, y ) v( x, y )i 在一点z x iy可导的充分必要条件为： u ( x, y ), v( x, y )在点( x, y )可微； u v u v 满足C R方程： , x y y x
两个重要定理的作用：
模： e e
z
x
辐角：Arg e y 2k
e 的性质： ( 4条 )
z
f ( z ) e 0 z z e e 处处解析
z

满足加法定理：e e e
z1 z2
z1 z 2
周期性：周期为 2 i
因
u e cos y, v e sin y u v z z e i u iv e x x
由欧拉公式：e i
cos i sin
i
指数表示： z e 4）平面图形

复数形式方程：
z 1 表示单位圆
定义：方程 w z的根，
n n 每个w称为 z 的 n 次根 记为： z
1 n
n n k 0 ,1 ,2 ,3 , ( n 1 ) 得到n个不同的根。
w z (cos
n
0 2k
i sin
0 2k
)
(1) 1 i
4
1 i 2 cos i sin 4 4
2k 8 4 4 4 2k 1 i 2 cos i sin 4 4