第五章参数样条曲线曲面第一节 C 1 分段三次Hermite插值2009- 08- 29 2一、参数连续性1、参数连续性与曲线光滑度对于显式函数表示的曲线，函数的可微性与曲 线的光滑度是紧密联系的。

例如：y ax b=+ 一次函数表示的直线2=++ 二次曲线y ax bx c32=+++ 三次曲线y ax bx cx d对于显示曲线，函数的C 0 ，C 1 和C 2 连续分别表 示函数的图形、切线方向、以及曲率连续。

2009- 08- 29 32009- 08- 29 4 一、参数连续性但是对于CAGD中大量涉及到的参数曲线，参数 方程的可微性与曲线的光滑性却没有必然的联系。

例如：如图的两条首尾相连的n次Bezier曲线：(1)(1)(2) 10n n b b b - == r r r 根据Bezier曲线的知识可知，这两条首尾相连的曲线在连接点是C 1 连续的，但显然该点是个尖点，切线方向是不连续的。

2009- 08- 29 5一、参数连续性同理，如果让首尾相连的两条n次Bezier曲线的最 后三个控制顶点和最前面三个控制顶点重合，即：(1)(1)(1)(2)(2)(2) 21012n n n b b b b b b -- ===== r r r r r r 根据Bezier曲线的知识可知，这两条首尾相连的曲线在连接点是C 2 连续的，但显然在该点处曲率是不连续的。

一、参数连续性上两个例子说明，曲线的参数连续性并不 能保证曲线的光滑性。

反过来，曲线的光滑性 也不一定需要相应的参数连续性。

例如曲线的 二阶几何连续可以保证曲线的曲率是连续的， 但这时曲线甚是连C 1 连续也不一定满足。

另外，参数曲线的参数连续性也是与曲线 的参数化有关的，同一条曲线采用不同的参 数，参数的连续性情况可能不同。

2009- 08- 29 6一、参数连续性2、组合（composite）曲线与组合曲面1）C k 连续组合曲线：分段（piecewise）连续曲 线段若在公共连接点处达到k阶参数连续，则称 该曲线具有k阶参数连续性（k－order piecewis e continuity）。

2）C k 连续组合曲面：分片（piecewise）连续曲 面片（patch）若沿曲面片的公共边界上关于一 个参数跨界达到k阶参数连续，则称该曲面线沿 该参数方向具有k阶参数连续性（k－order piec ewise continuity）。

2009- 08- 29 72009- 08- 29 8一、参数连续性3、C k连续组合曲线的含义1）C 0 连续：位置连续2）C 1 连续：位置连续及切矢连续。

3）C 2 连续：从位置连续直到二阶切矢连续。

2009- 08- 29 9二、C 1 分段三次Hermite插值1、问题：,0,1,, ,0,1,,C Herm ite i ip i n p i n = = r L r & L 1 给定数据点 以及相应的切矢，构造一条 分段三次 插值曲线，插值上述数值点及相应切矢。

解决方法：首先，要根据某种参数化方法对数据点进行 参数化，确定每一个数据对应的参数，这 样，插值条件就成为：(),()0,1,, i i i i p u p p u p i n ¢ === r r r r & L2009- 08- 29 10 二、C 1 分段三次Hermite插值[ ] 11 ,Hermite i i+ i ip p u u + r r 然后，在每两个数据点 和 之间构造参 数域 上的三次 插值曲线如下： [ ] 1 01011 1 1 ()()()()() , i i i i i i i i i i i i ip p p u F t F t G t G t u u u p pu ­u u u t = + + + + éù êú êú =D D ££ êú êú ëû D =- D r r r r & r & 其中： 上式即为C 1 分段三次Hermite插值曲线。

2009- 08- 2911二、C 1 分段三次Hermite插值2、C 1 参数化在上述构造C 1 分段三次Hermite插值曲线的过程中，需要提供每个数据点的位置及切矢。

但 在很多情况下，都只给出数据点的坐标，切矢需要用户提供，如何给出切矢的过程，就称为C 1 参数化。

1）方法1（FMILL方法）： 11 11iii i i i i p tp p t p p +- +- - = - r r r rr rr 设 处的单位切矢为 ，取2009- 08- 29 12二、C 1 分段三次Hermite插值按照上式的取法，有：111i i i i i i i t t p u u -+- == D +D - r r r & 将上式代入到C 1 分段三次Hermite插值曲线的表达式中，得到的样条曲线称为Catmull-Rom样 条。

2009- 08- 2913二、C 1 分段三次Hermite插值在这种方法中首末两点的切矢如何给出，并没有严格的规定，可以利用向前及向后差商作为 首末点的切矢，即：101 0 01 n n n n p p p p p p - - -- == D D r r r r r r && 2）方法2（Bessel方法）： 11 111 i i i ii i i i i i ip p p -- --- D D D D =×+× D +D D D +D D rrr &2009- 08- 29 14二、C 1 分段三次Hermite插值11 111 i i i i i i i i i i ip p p -- --- D D D D =×+× D +D D D +D D r r r & 在上式中，切矢是前后两点差商的重心组合。

实际上，上式是得出是首先过相邻的三点11 , i i i p p p -+ r r r 和 作一条抛物线，对应的参数分别为 11 ,, i i i u u u -+ 和 i i p p r r & 为该抛物线在 处的切矢。

01 011 01 2,2, n n n n p p p p p p - - - D D =-=- D D r r r r r r && 在端点处：2009- 08- 2915二、C 1 分段三次Hermite插值3）方法3（秋间方法）：1 1 1) i i i i i i ip p p a a -- D D =×+× D D r rr & （－ 其中：2 22 2 i i i i i i ip p pa -- -- D D =D D + D D r r r 这种方法与四个点的坐标与参数值有关。

二、C 1 分段三次Hermite插值总结：1）C 1 分段三次Hermite插值曲线实际上是一种样条曲 线，它具有局部修改性。

如果移动一个数据点，一般 只影响该点前后相邻的两段曲线形状。

2）利用C 1 分段三次Hermite插值曲线，可以在不需要 提高次数的情况下方便地实现对大量数据的插值，无 需解方程组，但是因为在连接点只能达到C 1 连续，连 续阶数不够高，还不能保证曲线足够光滑。

3）如果利用这种方法对一条曲线进行重构，随着采 样点增多，重构出的样条曲线将收敛到原曲线。

2009- 08- 29 162009- 08- 2917三、C 2 分段三次Hermite插值1、问题： ,0,1,,Hermite, 0,1,,C i ip i n pi n = = rL r & L 2给定数据点 构造一条分段三次 插值曲线，插值上述数值点。

如何给出相应的切矢 ，使得曲线段与段之间达到 连续。

2、解决方 法： 设分段三次Hermite插值曲线为：01101111 ()()()()() ,0,1,1 i i i i i i i i i ii i iip u p F t p F t G t p G t p u u u u u t u u i n +++ + =++D +D ££ - =D =-=- D r r r r r && L 其中：2009- 08- 2918三、C 2 分段三次Hermite插值在上式中 1i i p p + r r && 和 为未知量。

ip r 要求第i －1段曲线和第i 段曲线在 点达到C 2 连续 即： 1 ()() i i i p u p u u u - = r r 对 和 求二阶导，并令 得：()()i i p u p u -+ ¢¢¢¢ = r r 111111 1 2() 3[]1,2,1i i i i i i i i i i ii ip p p p p i n ---+ -- - D +D +D +D D D =+=- D D r r r &&& r r && L 三切矢连续性方程2009- 08- 2919三、C 2 分段三次Hermite插值1111 11 1 2() 3[]1,2,1i i i i i i i i i i ii i p p p p p i n ---+ -- - D +D +D +D D D =+=- D D r r r &&& r r && L 在上述三切矢连续性方程中共有n－1个方程，n＋1个未知量，还需要补充两个边界条件才能求解。

为表示方便，将上式简记为：11 1,2,1i i i i i i i a p b p c p d i n -+ ++==- r r r r &&& L2009- 08- 2920三、C 2 分段三次Hermite插值3、边界条件在处理具体问题时，常根据几何意义或物理意义设置不同形式的边界条件，常见的主要有以 下几种：1）周期条件（用于封闭曲 线）这时最后一个插值点与第一个插值点完全重 合，即：()()0 ()(),0,1,2k k n p u p u k ++ == r r2009- 08- 29 21三、C 2 分段三次Hermite插值将上式和三切矢连续方程联立，即得如下方 程： 1 111 1222 2 2 111 1 n n n n n n n d b c a p a b c p d a b c c a b p d --- éù éù éù êú êú êú êú êú êúêú êú êú = êúêú êú êúêú êú êú êú êú ëûëû êú ëûrr & r r & O O OM M M M r r & ,, i i ia b c r r r 根据 的表达式可知，上述矩阵是一个主对角占优的矩阵。