导数及其应用【考纲说明】1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。

二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。

三、几种常见函数的导数①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();xx e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x ex '=.四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。

形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。

复合函数求导步骤：分解——求导——回代。

法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x五、导数应用 1、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(<x ，则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；2、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3、最值：一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值。

①求函数ƒ(x)在(a ，b)内的极值；②求函数ƒ(x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ(x)的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

4．定积分(1)概念：设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0<x1<…<xi －1<xi<…xn ＝b 把区间[a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间[xi －1，xi]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式In ＝∑ni f1＝(ξi)△x （其中△x 为小区间长度），把n→∞即△x →0时，和式In 的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作：⎰badxx f )(，即⎰badxx f )(＝∑=∞→ni n f1lim (ξi)△x 。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。

基本的积分公式：⎰dx 0＝C ； ⎰dx x m＝111++m xm ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x 1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x ＝x e ＋C ；⎰dx a x＝a a x ln ＋C ；⎰xdx cos ＝sinx ＋C ；⎰xdx sin ＝－cosx ＋C （表中C 均为常数）。

(2)定积分的性质 ①⎰⎰=ba badxx f k dx x kf )()(（k 为常数）；②⎰⎰⎰±=±ba b ab adx x g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=baca bcdxx f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。

(3)定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a ，x ＝b(a<b)，x 轴及一条曲线y ＝f(x) (f(x)≥0)围成的曲边梯的面积⎰=badxx f S )(。

如果图形由曲线y 1＝f 1(x)，y 2＝f 2(x)（不妨设f 1(x)≥f 2(x)≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a<b ）围成，那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝⎰⎰-babadxx f dx x f )()(21。

【经典例题】【例1】（2012广东）曲线y=x 3-x+3在点(1,3)处的切线方程： 。

【解析】先对函数y=x 3-x+3求导，得：y=3x 2-1。

代入点(1,3)求出斜率，k=2。

设切线方程为y-3=2(x-1)，得切线方程为：y=2x+1。

【例2】（2012辽宁）已知P ，Q 为抛物线x 2=2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A 的纵坐标为 。

【解析】抛物线变形为：y=21x 2。

求导y ,=x 。

代入两点横坐标得出两切线的斜率分别为：4，-2。

点P ，Q 两点坐标为(4,8)，(-2,2)。

得出两切线为：y=4x-8，y=-2x-2。

两直线交点为(1,-4)。

所以交点的纵坐标为-4。

【例3】（2011课标）已知函数f(x)=xbx aInx ++1，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0。

(1)求a ，b 的值；(2)如果当x>0，且x ≠1时，f(x)>xkx Inx +-1，求k 的取值范围。

【解析】(1)f ,(x)=22)1()1(x b x Inx x x a -+-+由于直线x+2y-3=0的斜率为21-，且过点(1,1)， 故 即 解得a=1，b=1。

(2)由（1）知ln 11x x x ++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x xh x x -++=。

(i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知，当1x ≠时，'()0h x <。

而(1)0h =，故 当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x >-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211x- h （x ）>0 f(x)=1f ,(1)=21- b=1b a -2=21-从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k. （ii ）设0<k<1.由于当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2+1）+2x>0,故h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k-11）时，h （x ）>0，可得211x-h （x ）<0,与题设矛盾。

（iii ）设k ≥1.此时h ’（x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得211x - h （x ）<0,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为（-∞，0].【例4】（2012山东）已知函数f(x) = xekx +ln （k 为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x 轴平行。

（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）设g(x)=(x 2+x) '()f x ,其中'()f x 为f(x)的导函数，证明：对任意x ＞0，21)(-+<e x g 。

【解析】由f(x) = xe k x +ln 可得=')(xf x exk x ln 1--，而0)1(='f ，即01=-e k ，解得1=k ； （Ⅱ）=')(x f xexx ln 11--，令0)(='x f 可得1=x ， 当10<<x 时，0ln 11)(>--='x x x f ；当1>x 时，0ln 11)(<--='x xx f 。

于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数；在),1(+∞内为减函数。