《直线与椭圆的位置关系》的教学设计濮阳市第一高级中学任素巧【教学目标】（一）知识目标1、能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题2、学会判断直线与椭圆公共点的方法3、在计算直线与椭圆相交弦长或弦中点等有关问题时能够运用一元二次方程根与系数的关系简化运算（二）能力目标1、培养学生数形结合思想与逻辑推理能力，运算能力2、培养学生将直线与椭圆问题化归为方程问题来解决的能力（三）德育目标1、体会事物之间既有联系又有区别的辨证观点2、学会抓主要矛盾、分解矛盾、解决矛盾的方法【教学重点】直线与椭圆的位置关系、弦长问题、弦的中点问题【教学难点】学生解题综合能力的培养【教学过程】一、复习引入回忆初中学过的判断直线与圆的位置关系的方法有哪些？法一：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系判断，即当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交。

法二：判别式法，即将已知直线方程与圆方程联立，消去（x或y）得一元二次方程，再利用∆判断解的个数，即为直线与圆的交点个数。

若∆>0,方程有两个不同的解，即直线与圆有两个不同交点，故直线与圆相交；若∆=0,方程有两个相同的解，直线与圆有两个相同交点，故直线与圆相切；若∆<0,方程无解，直线与圆无交点，故直线与圆相离；小结：两种方法充分体现了数学中的等价转化思想和数形结合思想。

二、新课讲解提问：回顾了直线与圆的位置关系的判断方法以后，那么对于直线与椭圆的位置关系如何判断呢？直线与圆的位置关系的判断方法是否可以推广应用到直线与椭圆的位置关系中呢？刚才两种方法都可以吗？一、公共点问题问题1：判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k 0142>+k ，)516(162-=∆∴k（1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交 （2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切 （3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离 小结：法1不能推广应用到直线与椭圆的位置关系中，因为椭圆不具备圆特有的性质，椭圆的中心到椭圆上各点的距离不都相等.变式一：直线01=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系呢？ 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416122y x kx y 可得0128)14(22=-++kx x k 0142>+k ，0)316(162>+=∆∴k∴直线01=+-y kx 与椭圆141622=+y x 总相交 为什么上述直线与椭圆总相交呢？与问题1的区别在哪里？你能来解释一下吗？ 因为该直线恒过点（0，1），该点在椭圆的内部，故由图形可知，该直线与椭圆总相交。

上例又提供给了我们一种判断直线与椭圆的位置关系的方法，即对于一些特殊的直线和椭圆，可以采用数形结合来判断其位置关系。

[评述] 直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系.由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，故将直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0>∆⇔（2）直线与椭圆相切0=∆⇔（3）直线与椭圆相离0<∆⇔，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。

或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如变式2中法一是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点),(o o y x M 在椭圆内部或在椭圆上则12222≤+bya x o o二、弦长问题问题2：已知AB 是过椭圆14522=+y x 的左焦点F 的弦，若AB 的倾斜角为3π，求弦AB 的长. 分析：只需求出AB 的直线方程，与椭圆方程联立得一元二次方程，求出A ，B 的坐标，再利用两点间距离公式求出AB 的长.不需求出A ，B 的坐标，直接利用韦达定理求解即可.解法一：解：4,522==b a ，1222=-=b a c ，F ∴坐标为（-1,0）,又AB 倾斜角为3π，所以AB 方程为)1(30+=-x y ，即)1(3+=x y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=145)1(322y x x y 可得0530192=-+x x设A(x 1y 1),B(x 2,y 2)，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=+>-⨯⨯-=∆19519300)5(1943021212x x x x∴AB ==-+-221221)()(y y x x 221221)]1(3)1(3[)(+-++-x x x x=2212)]()3(1[x x -+=]4)[(221221x x x x -+=51932（特殊到一般归纳）：直线y=kx+m 与椭圆方程联立得一元二次方程ax 2+bx+c=0,则弦长公式为：ak x x k AB ∆+=-+=221211 提问：该题有没有其他解法？ 解法二：解：因为该弦过左焦点，所以可以用焦点弦公式来求弦长.BF AF AB +==)()(21ex a ex a +++=)(221x x e a ++=25+)1930(55-⨯=51932 [评述]1、直线y=kx+b 与曲线C 交于A ，B 两点，则2121x x k AB -+=ak ∆+=2121211y y k -+=特别地，过焦点的弦的弦长可利用焦半径公式简化运算. 2、用弦长公式212212111y y k x x kAB -+=-+=（k 为直线斜率）或焦（左）半径公式)(22212111x x e a ex a ex a BF AF AB ++=+++=+=时，应结合韦达定理解决问题。

三、中点问题问题3：点M(3,2)是椭圆1163622=+y x 内一点，过此点的弦被这点平分，求此弦所在直线方程分析：要求直线方程，只需求出直线的斜率即可，若设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则由已知条件：弦被该点平分，可得621=+x x ，故只需将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理即可求出斜率k 解法一解：设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意，直线斜率必存在，设为k ，则直线AB 方程为y-2=k(x-3),即y=kx-3k+2,由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+231163622k kx y y x ，得 010810881)23(18)94(2222=--++-++k k x k k x k0942>+k ∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=+>∆222194)23(180k k k x x ，又621=+x x ∴32-=k ，满足0>∆ ∴此弦所在直线方程为432+-=x y提问：要求直线的斜率，还有其他解法吗？（提示：621=+x x ，421=+y y ） 解法二设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),代入椭圆方程，得116362121=+y x ○1，116362222=+y x ○2，○2-○1，得0163621222122=-+-y y x x整理得3616))(())((21212121-=-+-+x x x x y y y y ，将621=+x x ，421=+y y 代入得，322121-=--x x y y∴此弦所在直线方程为432+-=x y ，将直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，经检验，得直线与椭圆有两个公共点. 三、巩固练习：1、已知椭圆141622=+y x ，求以点P （2，-1）为中点的弦所在直线的方程. 2、已知椭圆14522=+y x ，过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若9516=AB ，求直线l 的方程.四、课堂小结1、直线与椭圆的位置关系三类问题： （1）公共点问题：（数）：联立方程组→一元二次方程→⎩⎨⎧∆二次项系数（形）：直线是否过定点，结合图形考虑定点与椭圆的位置关系 （2）弦长问题：直线y=kx+b 与曲线C 交于A （x 1,y 1），B(x 2,y 2)两点，则2121x x k AB -+=ak ∆+=2121211y y k -+=特别地，过焦点的弦的弦长可利用焦半径公式简化运算.（3）弦的中点问题：1、联立方程组→一元二次方程→⎪⎩⎪⎨⎧∆韦达定理二次项系数2、 点差法（注意检验）2、三种问题的通法：都可以通过直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理来解决.3、要重视数形结合，以形助数来解题，根据问题特点去寻找解题途径，设计解题方法，在椭圆上设点，“设而不求”是简化运算过程的常用技能，要认真领会. 五、课后作业1、直线y=2x+m 与椭圆13422=+y x 有两个交点，求实数m 的取值范围. 2、已知斜率为1的直线过椭圆1422=+y x 的右焦点，且与椭圆交于A 、B 两点，求弦AB 的长.3、求经过椭圆x 2+4y 2=16内一点P(2,1)且被点P 平分的弦所在直线方程.附：板书设计。