直线与椭圆的位置关系练习（2）1. 椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐192522=+y x M 1F N 1MF ON O 标原点）的值为（ ）A ．4B ．2　C ．8　　D ．23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一2F 定义得，所以10221==+a MF MF ，82101012=-=-=MF MF 又因为为的中位线，所以ON 21F MF ∆，故答案为A ．4212==MF ON 2.若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围)(1R k kx y ∈+=1522=+my x m解法一：由可得，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m y x kx y 05510)5(22=-+++m kx x m k 0152≥--=∆∴k m 1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且解法二：直线恒过一定点)1,0(当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点则5<m x m b =1≥m 即51<≤m 当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即5>m y 5=a 5>m 综述：51≠≥m m 且解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即)1,0(115022≤+m1≥m3. 已知椭圆及直线．1422=+y x m x y +=（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？m （2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．51023. 解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，m x y +=1422=+y x ()1422=++m x x 即．，解得012522=-++m mx x ()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ．2525≤≤-m （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，1x 2x 5221m x x -=+51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：．解得．方程为51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m 0=m ．x y =4. 已知椭圆的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 11222=+y x 两点，求⊿ABF 2的面积4. 解法一：由题可知：直线方程为AB l 022=++y x 由可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 04492=-+y y 91044)(2122121=-+=-y y y y y y 9104212121=-=∴∆y y F F S 解法二：到直线AB 的距离2F 554=h 由可得，又⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 061692=++x x 92101212=-+=x x k AB910421==∴∆h AB S 解法三：令则，其中),(),,(2211y x B y x A 11ex a AF +=21ex a BF +=22,2==e a 到直线AB 的距离2F 554=h 由可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y xx y 061692=++x x 9210)(222121=++=+++=x x e a ex a ex a AB 910421==∴∆h AB S [评述]在利用弦长公式（k 为直线斜率）或焦212212111y y kx x kAB -+=-+=（左）半径公式时，应结合韦达)(22212121x x e a ex a ex a PF PF AB ++=+++=+=定理解5. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的x 1F 3π直线交椭圆于，两点，求弦的长．A B AB 5. 分析：可以利用弦长公式求得，]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．．因为，，所以2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=6=a 3=b 33=c ．因为焦点在轴上，x 所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．193622=+y x )0,33(-F 93+=x y 由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以0836372132=⨯++x x 1x 2x ，，，从而1337221-=+x x 1383621⨯=x x 3=k．1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB 6. 已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的两准线间的距离为2，若椭圆被直线x+y+1=03截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程32-6. 解法一：令椭圆方程为，由题得：，)(122n m ny mx <=+),(),,(2211y x B y x A 32221-=+x x 31221-=+y y 由可得，⎩⎨⎧=+--=1122ny mx x y 012)(2=-+++n nx x n m m n n m n x x 234221=-=+-=+即又即 3222=c a 2221131n m m -=34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 解法二：令椭圆方程为，由题得：，)(122n m ny mx <=+),(),,(2211y x B y x A 32221-=+x x 31221-=+y y 由作差得⎩⎨⎧=+=+1122222121ny mx ny mx )()(21212121y y x x y y x x n m +--=+-mn 2=∴又即 3222=c a 2221131n m m -=34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 7. 已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy .(Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.7. [解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为()()()1,2,0,2,0,2-.设椭圆的标准方程是()012222>>=+b a by a x .()()()()()2240122012222222>=-+-+-+--=+=BC AC a 则2=∴a 224222=-=-=∴c a b .∴椭圆的标准方程是.12422=+y x (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y .设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x 联立方程:⎩⎨⎧=++=42222y x kx y 消去y 整理得,()0482122=+++kx xk有221221214,218k x x k k x x +=+-=+若以MN 为直径的圆恰好过原点,则ON OM ⊥,所以02121=+y y x x ,所以,()()0222121=+++kx kx x x ,即()()042121212=++++x x k xx k所以,()0421*******222=++-++k k k k 即,0214822=+-k k 得.2,22±==k k 所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y .所以存在过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点.8. 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=，求椭圆方程 2108.解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由 得⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y (m +n )x 2+2nx +n －1=0,Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0,∴+1=0,∴m +n =2①又22,将m +n =2,代入得n m nn m n --+-2)1(2210()(4=+-+n m mn n m m ·n =②43由①、②式得m =,n =或m =,n =故椭圆方程为+y 2=1或x 2+y 2=12123232122x 2323219. 椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中12222=+b y a x (a b )01=+y x P Q OQ OP ⊥O 为坐标原点．（1）求的值；2211ba +（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围．e 33e 229. （1）设，由OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0),(),,(2211y x P y x P ⇔ 又将①01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得： 代入x y -=1，12222=+b y a x 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ,2,022221b a a x x +=+∴>∆ 代入①化简得 .222221)1(b a b a x x +-=21122=+b a(2) 又由（1）知,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==a b ab a b ac e 12222-=a a b ，∴长轴 2a ∈ [].26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a 6,510.设直线过点P （0，3），和椭圆顺次交于A 、B 两点，若试求λl x y 22941+=AP PB λ= 的取值范围.10 。

解：当直线垂直于x 轴时，可求得;l 15λ=-当与x 轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭l ())(,,2211y x B y x A ，l 3+=kx y 圆方程，消去得y ()45544922=+++kx x k解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑的情形.0>k1当时，，，0>k 4959627221+-+-=k k k x 4959627222+---=k k k x 所以 ＝＝＝.12x x λ=-5929592922-+-+-k k k k 59291812-+-k k k25929181k -+-由 ， 解得 ，()049180)54(22≥+--=∆kk 952≥k 所以，51592918112-<-+-≤-k 综上 .115λ-≤≤-11.已知椭圆的一个焦点为F 1(0,-)，对应的准线方程为，且离心率e 满足：成等差数列。