解：将y=x+m代入 整理得5x2+2mx+m2-16=0
4m 2 20 (m 2 16 ) 16 m 2 16 20 16 (m 2 20 )
当Δ 0时, 即 2 5 m 2 5 时, 直线与椭圆相交
当Δ 0时,
即m 2 5 时,直线与椭圆相切
思考:
x2 y2 试确定实数 m 的取值范围 , 使得椭圆 1 4 3 上存在关于直线 y 2 x m 对称的点.
1 分析：存在直线y x b与椭圆交与两点， 2 且两交点的中点在直线y 2 x m上。
解 : 假设椭圆上存在关于直线y 2 x m对称的两点A, B
ex:中心在原点,一个焦点为 F (0,5 2 )的椭圆截直线 y 3x 2 所得弦的中点横坐标为 1 ，求椭圆的 2 方程．
直线与椭圆的位置关系（3）
x y ex1.已知F1 , F2是椭圆 1的左, 右焦点, k 2 k 1 1 弦AB过点F1，若ABF2的周长是8，求e.
的最大距离
直线与椭圆的位置关系（2）
二、弦长问题
设 因
A（x1,y1） B（x2,y2） 直线 l
的方程：y kx b
A（x1,y1）
A（x1,y1）， B（x2,y2） 在直线
y1 kx1 b
l 上 y2 kx2 b
y1 y2 (kx1 b) (kx2 b)
直线与椭圆的位置关系（1）
忆一忆知识要点
1. 椭圆的定义： ① PF 1 PF 2 2a F 1 F 2 方程为椭圆；
② PF 1 PF 2 2a F 1 F 2 无轨迹;
③ PF 1 PF 2 2a F 1 F 2
B2 A1 F1 o B1
y
线段F1F2 .
P F2 A2 x
2
2
分析： 解：
设直线m平行于l， 则lm 可写成： 4x 5 y k 0
l m
.
P
o
x
思考：
2
x 2 已知椭圆 y 1上点P( x, y ), 求x 2 y的最值 2
小 结: 1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件： 当Δ＝0时，直线与椭圆相切； 当Δ＞0时，直线与椭圆相交； 当Δ＜0时，直线与椭圆相离。 思考：如何判断点和椭圆的位置关系？
2
2
4 5 尝试遇到困难怎么办?
2 2
d
4 x0 5 y0 40
4 xLeabharlann 5 y0 40 41l
且
m
x0 2 25

y0 2 9
m
1
作出直线 m 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
.
P
x y 1 ,直线 4 x 5 y 40 0 ,椭圆 例 2.已知椭圆 25 9 上是否存在一点 , 到直线 l 的距离最小 ? 最小距离是多 少? y
x2 y2 6 例3.已知椭圆 2 2 1(a b 0)的离心率e , a b 3 3 过点A(0， b), B(a,0)的直线与原点的距离为 。 2 （ 1）求椭圆的方程 椭圆交于CD两点，问：是否存在 k的值，使以 CD为直径的圆过E点？请说明理由。
（2）已知定点E (1,0), 若直线y kx 2(k 0)与
一、
直线与椭圆的位置关系的判断
2 2
ex1.判断直线y=x+1与椭圆 4 x y 16 的位置关系？
x y 2、y=kx+1与椭圆 1 恰有公共点，则m的 5 m 范围（ C ）
A、（0，1） B、（0，5 ） C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ） D、（1，+ ∞ ）
2
2
例１：当m取何值时直线y=x+m与椭圆 4 x2 y 2 16 相交，相切，相离？
(3)椭圆的标准参数方程
x a cos [0, 2 ) y b sin
3. 两种类型椭圆的标准方程的比较 定义 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 |MF1| + |MF2| = 2a ( a >c )
x y 1(a b 0) a 2 b2
2 2
y M
F1
o
F2
x
x2 y2 变式. 设M点是椭圆 a 2 b 2 1上一点， F1、F2为
椭圆的左右焦点，如果∠MF1F2=600， ∠MF2F1=300, 求此椭圆的离心率
例.已知椭圆的焦点 F1 (3,0), F2 (3,0) ， 且和直线
x y 9 0有公共点,求其中长轴最短的椭圆方程
是椭圆的焦点，∠F1PF2=θ ,则
A1 F1
y
B2 o B1
P F2 A2 x
( S△PF1F2 )max bc.
(3)当P为短轴端点时，∠F1PF2为最大.
(4)椭圆上的点A1距F1最近，A2距F1最远.
a c ≤| PF |≤ a c.
5. 几个重要结论： (5)过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短.
2
2
三、中点弦问题
例2：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M（2，1）且 被这一点平分的弦所在的直线方程.
法1：联立直线与椭圆， 利用韦达定理建立k的方 程
y2 -4 M(2,1) 4
0
x
法2：点差法（将两个点代 -2 2 2 入椭圆再相减） x y 1 练 . 椭圆 例 1. 1, 设直线y x 1与椭圆交于 直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求 16 4 2 的思想方法． A、B两点，求线段AB的中点坐标。
2 2
x y ex4.已知椭圆 2 2 1(a b 0), F1，F2分别 a b 是它的左，右焦点，如 果在椭圆上存在一点
2 (0, ) 2
1 M ( x0 , y0 )，使得F1MF2 ，求e的范围。 [ , 1 ) 3 2

5. 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆 于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点 恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率 _________ 3 1
x 2 作业：1、已知椭圆 y 1 4
2
（1）当m为何值时，直线 l : y x m 与椭圆相交、相切、 相离？ （2）直线 l : y x m 过椭圆的右焦点，交椭圆于A、B 两点，求弦AB的长。
x2 y2 1 上的点到直线 x 2 y 2 0 2.求椭圆 16 4
x y ex2.已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左焦点为F , a b 右顶点为A, 点B在椭圆上，且 BF x轴，直线AB 交y轴于点P, 若 AP 2 PB, 求e
2 2
2
2
2
1 2
ex3.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满 足 MF1.MF2 0的点M总在椭圆的内部，求 e的 范围。
1 则AB两点的直线可设为：y x b 2
1 y xb 2 由 2 2 x y 1 3 4
消y得 : x2 bx b2 3 0
2 b 2
b2 4(b2 3) 3b2 12 0 设两对称点A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
| CD | 2b a
2
y
(6)椭圆的准线
A1
C
F1
B2 o B1
P ( x0 , F2
y0 )
A2 x
D
直线与椭圆的位置关系
• 围绕直线与椭圆的公共点展开的，将直线方程与 椭圆方程组成方程组，消元后得到一个一元二次 方程， • 当Δ＝0时，直线与椭圆相切； • 当Δ＞0时，直线与椭圆相交； • 当Δ＜0时，直线与椭圆相离。
x1 x2 b
1 3 y1 y2 ( x1 x2 ) 2b b 2 2 b 3b AB中点( , )在直线y 2 x m上 2 4 3b b b 4 m 2 m 4 2 1 1 m 2 4m 2 2 2
e c a
(b, 0), (-b, 0), (0, a), (0, -a) (0, c)，(0, -c,) 半长轴长为a, 半短轴长为b.
e c a
b 1 e2 a
5. 几个重要结论： 2 2 y 设P是椭圆 x2 2 1 a b 0 上的点，F1，F2
a b
(1) S△ PF1F2 b2 tan . 2 (2) 当P为短轴端点时，
例4、如图，已知椭圆
ax by 1与直线x+y-1=0交
2 2
AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的 于A、B两点， 斜率是 2 ，试求a、b的值。 2 y ax 2 by 2 1 2 消y得:(a b) x 2bx b 1 0 解: A x y 1 0
x y 1(a b 0) a 2 b2
2 2
2 y x 1(a b 0) 2 2 b a 2
|x|≤ a, |y|≤ b
|x|≤ b, |y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称；关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称 关于原点成中心对称
(a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b) (c,0)，(-c,0) 半长轴长为a, 半短轴长为b.
通 法
1 1 2 y1 y2 k
设而不求
练习1.已知直线y=x-
1 2
与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位
置关系？若相交，求所得的弦长是多少,交点坐标?
解：联立方程组
因为
1 y x 2
消去y
x2+4y2=2