直线与椭圆的位置关系适用学科高中数学 适用年级 高中二年级 适用区域全国 课时时长（分钟） 60知识点 点与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 教学目标 理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式；教学重点 直线与椭圆的位置关系 教学难点 椭圆的综合应用教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 点与椭圆的位置关系提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系引出点与椭圆的位置关系1.点与椭圆的位置关系设点),(00y x P ，椭圆标准方程为)0(12222>>=+b a by a x 若点),(00y x P 椭圆上，则1220220=+by a x ； 若点),(00y x P 在椭圆内，则1220220<+by a x ；若点),(00y x P 在椭圆外，则1220220>+b y a x ； 考点/易错点2 直线与椭圆的位置关系（1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系：相离：直线与椭圆没有交点；相切：直线与椭圆有唯一交点；相交：直线与椭圆两个交点；（2）判断直线与椭圆的位置关系设直线:,l y kx m =+椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>，联立直线与椭圆方程消去y 得 22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=记该一元二次方程的判别式为∆，则①当0∆>时，直线与椭圆相交，有两个交点；②当0∆=时，直线与椭圆相切，此时有一个交点；③当0∆<时，直线与椭圆相离，没有交点.（3）弦长公式的推导设1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上的两点， AB 叫做椭圆的弦长.回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式.21122111AB x x k y y k =-+=-+k 为直线AB 的斜率）. 三、例题精析【例1】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x M 的离心率为23，右顶点到左焦点的距离为32+（1）求椭圆M 的方程.（2）若直线20x y m +-=与椭圆M ：①相交，②相切，③相离，求实数m 的取值范围；（3）设直线t x y l +=:与椭圆M 相交于不同的B A ,两点，令)(t f AB =，求)(t f .【答案】（1）2214x y += （2）①相交：55m << 5m =，③相离： 55m m <<或（3）24()5,(5,5)5f t t t =-∈- 【解析】（1）依据题意，则323c a a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩解方程组得2,3a c ==所以椭圆方程为2214x y += （2）联立222014x y m x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得225161640x mx m -+-= 222(16)45(164)16(54)m m m ∆=-⨯-=-①若直线与椭圆相交，则216(54)0m ∆=->，解得5522m -<< ②若直线与椭圆相切，则216(54)0m ∆=-=，解得52m =± ③若直线与椭圆相离，则216(54)0m ∆=-<55m m <<或（3）联立2214y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得2258440x tx m ++-= 因为直线与椭圆有两个交点，则226420(44)0t t ∆=-->，解得55t <<设1122(,)(,)A x y B x y ，由韦达定理，则1285t x x +=-，2124(1)5t x x -= 由弦长公式，则2212121()4AB k x x x x =++-2284(1)2()455t t -=--⋅2455t =-所以24()5,(5,5)5f t t t =-∈- 【例题2】已知椭圆22:12x M y +=， （1）求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；（2）过21()2Q 的直线与椭圆M 相交于,A B 两点，且,A B 关于点Q 对称，求直线AB 的方程；（3）过点(2,1)的直线l 与椭圆M 相交，求直线l 被椭圆截得的弦中点的轨迹方程.【答案】（1）40x y +=，（22220x y +-=，（3）222220x y x y +--= 【解析】(1) 设平行弦中点坐标为00(,)x y ，弦与椭圆对应的两个交点为11(,)x y ，22(,)x y 221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得12121212()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得1212121222()y y x x x x y y -+=-=-+ 又因为1201202,2x x x y y y +=+=，代入上式，得0040x y +=.所以平行弦中点的轨迹方程为：40x y +=（2）设33(,)A x y ，44(,)B x y ，则223322441212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得34343434()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得121212122()y y x x x x y y -+=--+ 又因为,A B 关于点21,)22Q 对称，则34122,1x x y y +=+= 所以1212121222()2AB y y x x k x x y y -+==-=--+ 故直线AB 2220x y +-=（3）由点(2,1)的位置结合椭圆方程可知直线l 的斜率必然存在，设弦中点坐标为(,)x y ''，则12l y k x '-='-、、、、、、、、、、、、、、()i 设直线与椭圆的两交点分别为5566(,),(,)x y x y ，则56562,2x x x y y y ''+=+= 又225522661212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得56565656()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得565656562()2l y y x x x k x x y y y '-+==-=-'-+、、、、、、、、、、、、、、()ii 由()i ()ii 联立化简得， 222220x y x y ''''+--=.所以弦中点的轨迹为：222220x y x y +--=.【例题3】椭圆C 的两焦点坐标分别为1(3,0)F -和2(3,0)F ，且椭圆过点3(1, （1）求椭圆C 的方程；（2）过点6(,0)5-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆C 于M N ，两点，A 为椭圆的左顶点，求证：MAN ∠的大小为定值.【答案】（1）2214x y +=（2）见解析 【解析】（1）依据题意3c =223a b -= 设椭圆方程为22221x y a b +=，则221314a b+=，解得224,1a b ==， 所以椭圆的标准方程为2214x y += （2）当直线l x ⊥轴时，易得90MAN ∠=︒，下面给出证明 依据题意，设直线65x ty =- 联立226544x ty x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消x 可得221264(4)0525t y ty +--= 设1122(,)(,)M x y N x y ，，由韦达定理，则122125(4)t y y t +=+，1226425(4)y y t -=+、、、、、、、、、、()i (2,0)A -，则11(2,)AM x y =+，22(2,)AN x y =+1212(2)(2)AM AN x x y y ⋅=+++21212416(1)()525t y y t y y =++++、、、、、、、、、、、、、、、、、、()ii 将()i 代入()ii 整理得222222222264(1)4816(4)1[6464486416]025(4)25(4)25(4)25(4)t t t t t t t t t t -++++=--+++=++++ 所以90MAN ∠=︒，故为定值.四、课堂运用【基础】1. 若直线2y mx =+与椭圆22142x y +=有且只有一个交点，求实数m 的值.【答案】2m = 【解析】联立22224y mx x y =+⎧⎨+=⎩消y 得22(21)840m x mx +++= 因为直线与椭圆只有一个交点，则22644(21)40m m ∆=-⨯+⨯= 解得22m =±. 2. 直线y x a =+与椭圆2212x y +=相交于,A B 两点，若423AB =，求a 的值. 【答案】1【解析】联立2222y x a x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得2234220x ax a ++-= 21643(22)0a a ∆=-⨯->恒成立，则a R ∈设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理，则1243a x x +=-，212223a x x -= 由弦长公式212122()4AB x x x x =+-2248(1)422()333a a -=--= 解得1a =.【巩固】1. 已知椭圆)0( 12222>>=+b a by a x ，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为︒60，且BF FA 2=,则椭圆的离心率为（ ）Ａ．52 2 Ｃ．12 Ｄ．23【答案】Ｄ．【解析】（代数法）：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知10y <，20y >.直线l 的方程为 3()y x c =-，其中22c a b =-. 联立22223(),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)2330a b y b cy b ++-= 解得221222223(2)3(2),33bc a b c a y y a b a b+--==++ 因为2AF FB =，所以122y y -=.即 2222223(2)3(2)233b c a b c a a b a b+-=⋅++ 解得离心率 23c e a ==. 2. 已知椭圆221169x y +=，12,l l 是过点(0,)P m 且相互垂直的两条直线，问实数m 为何值时，12,l l 与椭圆都有公共点.【答案】[5,5]m ∈-【解析】由题知点(0,)P m 在y 轴上运动，分两种情形讨论（1）当12,l l 中有一条与x 轴平行时，则必有一条是y 轴，此时[3,3]m ∈-；（2）当12,l l 中都不与x 轴平行时，设1:l y kx m =+，则21:l y x m k=-+. 1l 与椭圆有公共点，即22()1169x kx m ++=有实数根，整理得 222(169)32161440k x kmx m +++-=222(32)4(169)(16144)0km k m ∴∆=-+-≥解得22916m k -≥. 2l 与椭圆有公共点，同理可得2219()16m k -≥ 当3m >时，229()1516m m -≤⇒≤；又5m >时，229259()11616m -->=；而221,k k 必有一个小于等于1，此时12,l l 与椭圆不可能都有公共点. 综上所述5m ≤时，12,l l 与椭圆都有公共点.即[5,5]m ∈-.【拔高】1. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于,A B 两点，OB OA +与(3,-1)a =共线．(1)求椭圆的离心率；(2)设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明：22μλ+为定值．【答案】（16（2）见解析 【解析】：（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，)0,(c F 则直线AB 的方程为y x c =-代入)0(12222>>=+b a by a x ，化简得22222222()20a b x a cx a c a b +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理，则2222222122221,2b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+、、、、、、、、、、、、、、、()i 由),(2121y y x x OB OA ++=+，)1,3(-=a ，OB OA +与a 共线，得12123()()y y x x +++，又1122,y x c y x c =-=-所以12123(2)()0x x c x x +-++=、、、、、、、、、、、、、、()ii将()i 代入()ii 整理得：223a b =,故离心率22613b e a =-= 证明：由（1）知223a b =,所以椭圆方程可以化为：22233b y x =+，设),(y x OM =，由已知得),(),(),(2211y x y x y x μλ+=解得⎩⎨⎧+=+=2121y y y x x x μλμλ，因为M 在椭圆上，代入整理得)1(3)3(2)()3(221212222221212 b y y x x y x y x =+++++λμμλ)2(33332222222121 b y x b y x =+=+， 由（1）知2321c x x =+，则222221,23c b c a ==，则)3(8322222221 c b a b a c a x x =+-= 由)3)(2)(1(，则22121222212122222212123)3(2)(3)3(2)()3(b y y x x b y y x x y x y x =+++=+++++λμμλλμμλ又因为：0329233)(34))((32222212121212121=+-=++-=--+=+c c c c x x x x c x c x x x y y x x 所以22223)(3b b =+μλ，即122=+μλ，故为定值.课程小结本节主要学习了以下内容：1.点与椭圆的位置关系；2.直线与椭圆的位置关系3.椭圆的综合应用。