一、等差数列的前n 项和公式
()()112212
12
()22n n n n a a S n n na d
d d n a n S An Bn +=
-=+⎛
⎫=+-=+ ⎪⎝
⎭类似于二、
（1）对于项数为的等差数列，有
()2k k N +∈()2111
=-k k k k k k k S k a a S ka S ka S S kd S a
S a +++=+===奇偶奇偶奇偶（2)对于项数为的等差数列，有
()21k k N +-∈()()21211-1
k k k
k
k S k a S ka S k a S S a a S k
S k -=-==-===
-奇偶奇中偶奇偶
例：已知等差数列{}n a 的前n 项和为377，项数n 为奇数，且奇数项和与偶数项和之比为7:6，求中项。
解：设，则中项为，
()21n k k N +=-∈k a ()2121377
7
16
n k k S S k a S k S k -==-===-奇偶解得，137377
7,291313
S k a ====即中项为29
三、等差数列的前n 项和的最值
公差 为递增等差数列，有最小值。
0d >⇔{}n a n S 公差 为递减等差数列，有最大值。
0d <⇔{}n a n S 公差 为常数列。
0d =⇔{}n a 特别地，当时，有最大值（所有非负项之和）
10,0a d ><n S 当时， 有最小值（所有非正项之和）。
10,0a d <>n S 例：在等差数列{}n a 中，已知120a =，前n 项和为n S ，且1015S S =，求当n 取何值时，n S 取最大值，并求此最大值。
a
n d
解法一：根据题意可得
1091514
10201520223
5
d d d ⨯⨯⨯+
=⨯+=-
得可求565
33
n a n =-+
所以，
130a =即当时，；12n ≤0n a >当时，。
14n ≥0n a <所以当时，有最大值，1213n =或n S 且最大值为1213130
S S ==解法二：根据题意，，如图所示
()20n S An Bn A =+≠由1015S S =，得当时，取最大值，
1213n =或n S ，125
20,22
B a A B A =+=-
=
得，
25125
66
n S n n =-+可求得12130
S =
解法三、由1015S S =知，即，
11121314150a a a a a ++++=1350a =得，，故当时，取最大值，
130a =5
3
d =-1213n =或n S 最大值为()
1131213131302
a a S S +==
=求等差数列前n 项和的最值常用方法：利用等差数列单调性或性质求出正负
n S 转折项；或根据二次函数图像的性质求最值。
四、等差数列的性质
等差数列，公差为，前n 项和为，则：
{}n a d n S （1）等长度截取，成等差数列公差为232,,,k k k k k S S S S S -- 2k d
（2）算术平均值，
为等差数列，公差为312,,,123S S S 2
d 若与为等差数列，且前n 项和为与，则
{}n a {}n b n S n T 21
21
m m m m a S b T --=
例 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
481
3S S =，则816
S S =_____。
解：因为成等差数列，设则
4841281612,,,S S S S S S S ---48,3S m S m ==，则，所以。
8412816122,3,4S S m S S m S S m -=-=-=1610S m =816310
S S =
e a
n d
A
解
已知两个等差数列{}n a 和{}n b 前n 项和分别为n A 和n B ，且
745
3
n n A n B n +=
+，则使得
n
n
a b 为整数的正整数n 的个数是_____解：
()()()()2121
212172145213
71911271
n
n n n
n n n a a b n b A B n n n n n ---=
-=-+=-++=
+=+
+所以即共5个数。
12,3,4,6,12n +=1,2,3,5,,11n =
五、等差数列各项取绝对值后组成的数列的前n 项和
{}n a {}n a 例：已知数列{}n a 的通项，求数列的前n 项和n T 。
()112n a n n N +=-∈{}n a 解：由得，
1120n a n =-≥ 5.5n ≤即当时，，
5n ≤112n a n =-当时，，
6n ≥211n a n =-所以当时，5n ≤2
1210n n T a a a n n =+++=- 当时，
6n ≥()()
1256712125221050
n n
n T a a a a a a a a a a a a n n =+++----=-+++++++=-+ 故数列的前n 项和{}n a ()()
2
2105,10506,n n n n n N T n n n n N ++⎧-≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩含绝对值的数列求前n 项和注意分类讨论。