反比例函数复习题及答案
2．“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”这是我国著名数学家李善兰给出的“（function）函数”翻译，一次函数、二次函数、反比例函数是初中阶段必须掌握的三大初等函数．（1）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数相交于A（1，6），B（n，2）两点，求这两个函数的解析式及由坐标系原点O，A，B围成的三角形的面积；
（2）已知实数m，n（m＜n）在二次函数y＝x2+3x﹣4对称轴的同一侧，当m≤x≤n时，y的取值范围为，求出m，n的值；
（3）已知直线y＝2tx﹣2和抛物线y＝（t2﹣1）x2﹣1在y轴左边相交于A，B两点，点C是线段AB的中点，经过C，D（﹣2，0）的直线交y轴于点H（0，h），求h取值范围．【分析】（1）由A点坐标可求得m的值，可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式；设直线与x轴相交于点C，然后根据S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC即可求解；
（2）根据题意，分2种情况：①当m≤n＜﹣时；②当﹣＜m≤n时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数m、n（m＜n），使得当m≤x≤n时，y的取值范围为即可；
（3）可运用公式法求出点A、B的坐标（用t的代数式表示），从而得到线段AB中点c 的坐标，然后运用待定系数法求出直线的解析式，即可得到h与t的函数关系，然后只需求出t的取值范围，并运用二次函数及反比例函数的增减性就可解决问题．
【解答】解：（1）∵A（1，6），B（n，2）在反比例函数的图象上，
∴m＝6，
∴反比例函数的解析式是y＝，
∴2n＝6，
解得n＝3，
∴B（3，2），
∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A、B两点．
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+8；
设直线y＝﹣2x+8与x轴相交于点C，C的坐标是（4，0）．
S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC|y A|﹣OC|y B）＝8；
（2）分两种情况讨论：
①当m＜n＜﹣，即m、n在对称轴的左侧时，二次函数y的值随x增大而减小，∵，
∴
方程组中的第一个方程×n得，n3+3n2﹣4n＝12
∴（n+2）（n﹣2）（n+3）＝0
解得n＝﹣2或2或﹣3，
同理由方程组中的第二个方程×m得m＝﹣2或2或3，
∵m＜n＜﹣，
∴m＝﹣3，n＝﹣2；
②当﹣＜m＜n，即m、n在对称轴的右侧时，二次函数y的值随x增大而增大，∵，，
方程①×n﹣2×m，得m2n﹣n2m+4（m﹣n）＝0，
∴（mn+4）（m﹣n）＝0，
∵m﹣n≠0，
∴mn+4＝0，m＝﹣，
将m＝﹣代入方程②得，
n2+3n﹣4＝﹣3n，
∴n＝﹣3±
∵n＞﹣
n＝﹣3+
∴m＝﹣3﹣＜﹣，与上述﹣＜m＜n矛盾，
∴没有满足的m、n．
综上，在对称轴的左侧存在实数m、n，当m≤x≤n时，y的取值范围为，此时m＝﹣3，n＝﹣2；
（3）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则
x1、x2是方程2tx﹣2＝（t2﹣1）x2﹣1即（t2﹣1）x2﹣2tx+1＝0，
解得x1＝，x2＝，
∴x1+x2＝，y1+y2＝2tx1﹣2+2tx2﹣2＝2t（x1+x2）﹣4＝．
∵点C是AB的中点，
∴点C的坐标为（，）即（，）．
设直线DC的解析式为y＝mx+n，则有，
解得．
∴直线与y轴的交点纵坐标h＝n＝．
∵点A、B在y轴的左侧，
∴x1＝＜0且x2＝＜0，
解得t＜﹣1．
设k＝2t2+t﹣1，则有
h＝，k＝2（t+）2﹣，
∵2＞0，∴当t＜﹣1时k随着t的增大而减小，
∴k＞2（﹣1+）2﹣即k＞﹣1，
对于h＝，
①当﹣1＜k＜0时，h＜﹣4；
②当k＞0时，h＞0，
∴直线与y轴的交点纵坐标h的取值范围是h＜﹣4或h＞0．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，二次函数解析式的求法和二次函数图象的性质等，一次函数的增减性、难度较大．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。