第7章 多元函数微分学
7.1 多元函数的极限和连续 7.1.1平面区域的概念 与数轴上区间的概念类似，下面我们介绍平 面区域的概念．所谓平面区域，是指坐标平面上 满足某些条件的点的集合围成平面区域的曲线 称为该区域的边界，边界上的点称为边界点不 包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区 域称闭区域如果一个区域被包含在一个以原点 为圆心而半径适当大的圆内，则称此区域为有界 区域，否则称为无界区域区域也可以用不等式 或不等式组表示．
在点M0(x0,y0,f(x0,y0))处的切线对x轴的斜率(见 图7.5)
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图7.5
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7.2.2
偏导数的计算
求函数在某一点处的偏导数完全可以按照偏导 数的定义求得，但由偏导函数的概念可知， z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数fx(x0,y0)显然就 是偏导函数fx(x,y)在点(x0,y0)处的函数值。
二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处偏导数的几何 意义：二元函数z=f(x,y)的图形一般为空间曲面． 由偏导数的定义可知，函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0) 处关于x的偏导数fx(x0,y0)就是一元函数z=f(x,y0)在 点x0处的导数，而一元函数z=f(x,y0)的几何图形是 曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线，因此偏导数 fx(x0,y0)表示曲线
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习题7.1 1．设函数f(x,y)=x2-2xy+y2，求f(2,1). 2．已知函数f(x,y)=x2+y2-xy tanxy，试求 f(tx,ty). 3．设f(x-y,xy)=x2-y2,求f(x,y).
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7.2 偏导数 一元函数中，我们从研究函数的变化率出发 引入了导数的概念．本节将以此为基础讨论多元 函数关于其中一个自变量的变化率问题，并引进 偏导数的概念．下面就二元函数给出偏导数的定 义、计算方法及高阶偏导数．
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图7.1
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7.1.2
多元函数的概念
定义7.1 设D是平面上的一个非空点集，对于 D内的任一点(x,y)，如果按照某种法则f，都有唯一 确定的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数， 它在点(x,y)处的函数值记为f(x,y)，即z=f(x,y)其 中x,y称为自变量，z称为因变量，点集D称为该函 数的定义域，数集{z|z=f(x,y),(x,y)∈D}称为该函数 的值域．
图7.3
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7.1.3
二元函数的几何意义
一元函数一般表示平面上一条曲线，二元函数 z=f(x,y)，也就是F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,在空间直角坐 标系中一般表示曲面．该曲面在xOy上面的投影即 为函数z=f(x,y)的定义域(图7.4)
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图7.4
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7.1.4
二元函数的极限
定义7.2 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个 空心邻域内有定义，P(x,y)是异于点P0(x0,y0)的任 意一点如果存在常数A，当点P(x,y)以任意方式 无限趋近于点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)总是趋近于 A，则称A为函数z=f(x,y)当P(x,y)趋近于P0(x0,y0) 时的极限，记作
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7.2.1
偏导数的定义
定义7.4 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一 邻域内有定义，先固定y=y0，当x在x0处有增量Δx 时，相应地函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)，如果
存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0) 处对x的偏导数.记作
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例7.8 求z=x3y3－3x2y+5x－2xy+y2的偏导数 例7.9 求z=xy的偏导数． 例7.10 求f(x,y)=y ln(x2+y2)的偏导数． 例7.11设f(x,y)=y sin(xy),求fx,fy．
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7.2.3
二元函数偏导数在经济上的应用
与一元函数的导数在经济边际分析的应用一样 ，二元函数的偏导数在边际分析中也有着类似的应 用.我们把二元函数z=fx,y的两个偏导数分别叫做z 关于x和z关于y的边际函数.
则称二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续， 点P0(x0,y0)称为函数z=f(x,y)的连续点．
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13Biblioteka 在有界闭区域上连续的二元函数有如下性质： 性质1(最值定理) 在有界闭区域上连续的二元函数 一定能取到最大值和最小值． 性质2 (介值定理)在有界闭区域上连续的二元 函数必能取得介于它的两个不同的函数值之间的任 何值至少一次． 以上关于二元函数极限与连续的讨论完全可以 推广到三元以上的函数
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注：关于二元函数的定义域，我们仍做如下约 定：如果一个用算式表示的函数没有明确指出定义 域，则该函数的定义域可理解为使算式有意义的所 有点（x,y）所组成的集合，并称其为自然定义域
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例7.1 求二元函数
的定义域D，并画出D的图形． 例7.2 求二元函数
的定义域D，并画出D的图形．
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图7.2
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1）边际成本 例7.13 某工厂生产两种同类不同型号的产品 如果已知生产x台甲型产品和y台乙型产品的总成本 函数为C(x,y)=0.1x2+120x+0.3y2+160y+5 000， 求：当x=50，y=70时的边际成本.
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而fy(x0,y0)就是偏导函数fy(x,y)在点(x0,y0)的 函数值．就像一元函数的导函数一样，以后在不至 于混淆的地方也把偏导函数简称偏导数至于实际 求z=f(x,y)的偏导数，并不需要新的方法，因为这 里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看成固 定的，所以仍旧是一元函数的微分问题．求fx时， 只要把y暂时看成常量而对x求导数；求fy时，则只 要把x暂时看成常量而对y求导数．
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注：对于二元函数极限的理解，我们需要注意 以下两点：①函数在点(x0,y0)处有无定义和怎样定 义与函数的极限无关； ②自变量(x,y)→(x0,y0)时，必须是以任意的方 式，若只是以几个特殊方式并不能说明函数的极限 存在.
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7.1.5
二元函数的连续性
定义7.3 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个 实心邻域内有定义，如果