1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。

6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为Ay +Bz =0.又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为Ax +Cz +D =0.又点M 1和M 2都在平面上，于是A D C D +=⎧⎨+=⎩ 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0.显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？解：表示以点（1，-2，09. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2.解：(1)表示直线、平面。

(2)表示圆、圆柱面。

(3)表示椭圆、椭圆柱面。

(4)表示抛物线、抛物柱面。

1. 下列各函数表达式:(1) 已知f (x ,y )=x 2+y 2,求(f x y -； (2)已知22(,f x y x y -=+求f (x ,y ).解：（1）2222(()f x y x y x xy y -=-+=-+ （2）2222(()2f x y x y x y -=+=-+所以22(,)2f x y x y =-2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形： (1) 221sin 1z x y =+-；(2) z =(3) (,))f x y x y =-；(4) 22(,)f x y =解：（1）由2210x y +-≠可得221x y +≠故所求定义域为D ={(x ,y )| 221x y +≠}表示xOy 平面上不包含圆周的区域。

（2）由221010x y ⎧-≥⎨-≥⎩可得1111x y y -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1111x y y -≤≤≥≤-且或}，表示两条带形闭域。

（3）由100x x y -≥⎧⎨->⎩可得1x y x ≥⎧⎨<⎩故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1x y x ≥<且}，表示xOy 平面上直线y=x 以下且横坐标1x ≥的部分。

（4）由2221310x y x y ⎧-≤--≤⎨-≥⎩可得22224x y y x ⎧≤+≤⎨≤⎩故所求的定义域为D ={(x ,y )| 22224x y y x ≤+≤≤且}。

3. 说明下列极限不存在：(1) 00lim x y x yx y→→-+；(2) 36200lim x y x yx y →→+.解：（1）当点P (x ,y )沿直线y =kx 趋于点(0,0)时，有(,)(0,0)0 (1)1lim lim (1)1x y x y kxx y k x k x y k x k →→=---==+++。

显然，此时的极限值随k 的变化而变化。

因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。

（2）当点P (x ,y )沿曲线3y kx =趋于点(0,0)时，有 33662262(,)(0,0)0 lim lim (1)1x y x y kxx y kx kx y k x k →→===+++。

显然，此时的极限值随k 的变化而变化。

因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。

4. 计算下列极限：(1) 01lim x x y e yx y →→++； (2)(,)(0,3)sin()lim x y x y x→;(3) 33(,)(0,0)sin()lim x y x y x y→++；(4)(,)(0, 0)limx y →.解：（1）因初等函数(,)x e yf x y x y+=+在(0,1)处连续，故有0011lim 201x x y e y e x y →→++==++（2）(,)(0,3)(,)(0,3)sin()sin()limlim 3x y x y xy xy y x xy →→==（3）33332233(,)(0,0)(,)(0,0)sin()sin()lim lim ()0x y x y x y x y x xy y x y x y→→++=-+=++ （4）(,)(0, 0)(,)(,)1limlim lim 4x y x y x y →→→===。

5. 究下列函数的连续性：(1) 22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y x y f x y x y ⎧-≠⎪+=⎨⎪=⎩(2) 2222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧-≠⎪=+⎨⎪=⎩解：(1)22(,)(0,0)(,)(0,0)lim lim ()0(0,0)x y x y x y x y f x y →→-=-==+所以f(x,y)在(0,0)处连续.(2) 22222222222(,)(0,0)0 1lim lim 1x y x y kxx y x kx k x y x k x k →→=---==+++ 该极限随着k 的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)处不连续.6. 下列函数在何处间断？ (1) 221z x y =-；(2) ln z =解：(1)z 在{(x ,y )| x y =}处间断. (2)z 在{(x ,y )| 221x y +≥}处间断.习题7-31. 求下列函数偏导数：(1) z =x 3+3xy +y 3；(2) 2sin y z x=;(3) ln(3)z x y =-； (4) ln (00,1)y z x x y x y x =+>>≠， (5) z yu x =； (6) 22cos()z u x y e -=-+ 解：(1) 2233,33.z z x y x y x y ∂∂=+=+∂∂(2) 222sin 1,cos 2.y z z y y x y x x∂∂=-=∂∂ (3) 13,.33z z x x y y x y∂∂-==∂-∂-(4) 1111,ln .y y y y z z yx yx x x x xy x y y --∂∂=+=+=+∂∂(5)12,ln ().zzy y u z u z x x x x y y y-∂∂==-∂∂ 1ln ()zy u x x z y ∂=∂(6) 22sin()2,z ux y e x x-∂=--+∂ 2222sin()(2)2sin().z z z x y e y y x y e y --∂=--+-=-+∂22sin()()z z ux y e e z--∂=--+-∂ 22sin()z z e x y e --=-+ 2. 求下列函数在指定点处的偏导数： (1) f (x ,y )=x 2－xy +y 2，求f x (1,2)，f y (1,2);(2) 22(,)arctan x y f x y x y+=-;求(1,0)x f(3) 22arctan((,)sin(1)x f x y x e =-; 求(1,2)x f ；(4) (,,)ln()f x y z x yz =-, 求(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)x y z f f f . 解：(1) (,)2,(,)2.x y f x y x y f x y x y =-=-+ (1,2)220,(1,2)14 3.x y f f ∴=-==-+= (2) 21(,0)arctan ,(,0)1x f x x f x x ==+故因此11(1,0).112x f ==+ (3) 222arctan(1(,2)ln(4)sin(1)2x f x xx e =++-因此2222arctan(4)22arctan(12(,2)cos(1)224sin(1)x x x x x f x x x ex x e ++=+-++-所以arctan(11(1,2)25x f e =+.(4) 1(,,),(,,),(,,).x y z yz f x y z f x y z f x y z x yz x yz x yz --===---故11(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)0.22x y z f f f ==-=3．设r =，证明： (1) 2221r r r x y z ⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭; (2) 2222222r r r r x y z∂∂∂++=∂∂∂; (3) 2222222(ln )(ln )(ln )1r r r x y z r ∂∂∂++=∂∂∂.证明：r x ∂∂=,x r = 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：r y ∂∂,y r =r z ∂∂.z r=(1)()()2222222221x y z r r r r xy z r r++⎛⎫∂∂∂++=== ⎪∂∂∂⎝⎭(2) 22222223r x r x r r r x x r x r r r ∂--∂-∂===∂ 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：2222222323,r y r r r z y r z r -∂∂-==∂∂ 222222222233322.r x y r r r r r x y z r r--∂∂∂∴++===∂∂∂(3) 2222222(ln )1ln ln(),2r x x r x y z x x y z r∂=++==∂++ 22222442(ln )2r r x r r r x x x r r ∂-∂-∂==∂ 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：2222222424(ln )2(ln )2,.r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂ 222222222242(ln )(ln )(ln )32()1r r r r x y z x y z r r∂∂∂-++∴++==∂∂∂.4. 求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂,22z y ∂∂,2z y x∂∂∂： (1) 322433z x x y x y x y =+--+； (2) ln()z x x y =+.解：(1) 222212631,246.z z x xy y x y x x∂∂=+--=+∂∂222361,6.z zx xy x y y∂∂=-+=-∂∂ (2) 2222211ln(),.()()x y x x y z z x y x x x y x y x x y x y +-+∂∂=++=+=∂++∂++222,.()z x z x y x y y x y ∂∂==-∂+∂+ 5. 某水泥厂生产A ,B 两种标号的水泥，其日产量分别记作x ,y (单位：吨)，总成本(单位：元)为C (x ,y )=20+30x 2+10xy +20y 2,求当x =4,y =3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义. 解：(,)6010,(,)1040,x y C x y x y C x y x y =+=+ (4,3)270,(,)160.x y C C x y ∴==经济含义:当A ,B 两种标号的水泥日产量分别4吨和3吨时，如果B 水泥产量不变，而A 水泥的产量每增加1吨，成本将增加270元；如果A 水泥产量不变，而B 水泥的产量每增加1吨，成本将增加160元。