第四章 随机变量的数字特征
一、填空题
1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-X e X E 。
2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2
σ的正态分布，且3.0)42(=<<X P ，则
________)0(=<X P 。
3. 已知离散随机变量X 服从参数为2的泊松分布，即 ,2,1,!2)(2===-k e k k X P k ，则23-=X Z 的
数学期望___________
)(=Z E 。
4. 已知连续型随机变量X 的概率密度为1
22
1
)(-+-=
x x
e x
f π
，则
________________,__________
==DX EX 。
5. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则
________________,__________==DX EX 。
6. 设离散随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数，如果在这些试验中事件发生的概率相同，并且已知,9.0=EX 则________=DX 。
7. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为4.0，则2
X 的数学期望
_____________2=EX 。
8. 设随机变量X 与Y 相互独立，4,2==DY DX ，则______________)2(=-Y X D 。
（12）
9.若随机变量321,,X X X 相互独立，且服从相同的两点分布⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2.08.010，
则∑==31i i X X 服从_________分布，___________________,__________
==DX EX 。
10.设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为：⎩⎨⎧≤≤=其他,01
0,2)(x x x ϕ，⎩
⎨⎧>=--其他,05,)()5(y e y y ϕ，则
_______________)(=XY E 。
二、选择题
1. 已知随机变量X 服从二项分布，且44.1,4.2==DX EX ，则二项分布的参数p n ,的值为（ ） （A ）6.0,4==p n ； （B ）4.0,6==p n ； （C ）3.0,8==p n ；
（D ）1.0,24==p n 。
2.已知离散型随机变量X 的可能值为：1,0,1321==-=x x x ，且89.0,1.0==DX EX ，则对应于
321,,x x x 的概率321,,p p p 为（ ）
（A ）5.0,1.0,4.0321===p p p ； （B ）5.0,4.0,1.0321===p p p ； （C ）4.0,1.0,5.0321===p p p ； （D ）1.0,5.0,4.0321===p p p
3.设随机变量⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛p b a
X 6
.0~（b a <），又24.0,4.1==DX EX ，则b a ,的值为（ ） （A ）2,1==b a ；（B ）2,1=-=b a ；（C ）2,1-==b a ；（D ）1,0==b a 。
4.对两个仪器进行独立试验，设这两个仪器发生故障的概率分别为21,p p ，则发生故障的仪器械数的数学期望为（ ） （A ）21p p ；
（B ）21p p +；
（C ）)1(21p p -+；（D ）)1()1(1221p p p p -+-。
5.人的体重)100,100(~N X ，记Y 为10个人的平均体重，则（ ） （A ）100,100==DY EY ； （B ）10,100==DY EY ； （C ）100,10==DY EY ；
（D ）10,10==DY EY 。
6.设X 与Y 为两个随机变量，则下列式子正确的是（ ） （A ）EY EX Y X E +=+)(； （B ）DY DX Y X D +=+)(； （C ）EXEY XY E =)(；
（D ）DY DX XY D ⋅=)(
7.现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人得奖的金额的数学期望（ ） （A ）6；
（B ）12；
（C ）8.7；
（D ）9
8、设X 与Y 为两个独立的随机变量,其方差分别为6和3,则=-)2(Y X D ( ) （A ）9；
（B ）15；
（C ）21；
（D ）27
9、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤<=1,110,0,
0)(3
x x x x x F ，则=)(x E （ ）
（A ）
dx x ⎰
+∞
4
（B ）
dx x ⎰
1
33
（C ）
⎰⎰
+∞+1
1
4xdx dx x ； （D ）dx x ⎰+∞
33
10、若随机变量X 在区间I 上服从均匀分布，3
4
,3==DX EX ，则区间I 为（ ） （A ）]6,0[；
（B ）]5,1[；
（C ）]4,2[；
（D ）]3,3[-
三、计算题
1. 某种按新配方试制的中成药在500名病人中进行临床试验,有一半人服用,另一半人未服.一周后,有280人痊愈,其中240人服了新药.试用概率统计方法说明新药的疗效.
2. 已知离散型随机变量X 的可能取值为1,0,1-，9.0,1.02
==EX EX ，求X 的分布律。
3. 已知离散型随机变量X 的分布函数⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<=3
,131,9.010,6.002,4.02
,0)(x x x x x x F ，求)21(X E -。
4. 设随机变量X 的密度函数⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤+<<=其他
,042,2
0,)(x c bx x ax x f ，已知43)21(,2=<<=X P EX 。
求（1）c b a ,,；
（2）随机变量X
e Y =的数学期望和方差。
5. 一批产品中有一、二、三等品及废品4种，相应的概率分别为01.0,04.0,15.0,8.0。
若其产值分别为20元、18元、15元和0元，求产品的平均产值。
6. 某车间完成生产线改造的天数X 是一随机变量，其分布律
X ~⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1.02.04.02.01.03029282726，所得利润（单位：万元）为)29(5X Y -=，求：EY EX ,。
7. （有奖销售）某商场举办购物有奖活动，每购1000份物品中有一等奖1名，奖金500元，二等奖3名，奖金100元，三等奖16名，奖金50元，四等奖100名，可得价值5元的奖品一份。
商场把每份价值为7。
5元的物品以10元出售，求每个顾客买一份商品平均付多少钱？ 8. 设二维随机变量（Y X ,）的联合分布律如下：
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--05.03.02.0225.015.005.0120
1\X Y ，求：（1）DY DX EY EX ,,,；（2）)(),(Y X D Y X E -- （四）证明题
1. 在一次试验中，事件A 发生的次数X 的方差满足4
1
≤
DX 。
2. 设随机变量X 在区间],[b a 中取值，证明：（1）b X E a ≤≤)(；（2）4
)(2
a b DX -≤。
参考答案： 一、填空题：1）
34；2）2.0；3）4)23(=-X E ；4）2
1,1==DX EX ；5）2,2==DX EX ；6） 495.0=DX ；7）4.18；8）12)2(=-Y X D ；9）),(~p n B X ，48.0,6.0==DX EX ； 10）
4)(=XY E 。
二、选择题：1）B ；2）A ； 3）A ； 4）B ；5）B ； 6）A ；7）C ； 8）D ；9）B ；10）B 。
三、计算题：
1. 设随机变量X 表示服过新药的病人的痊愈情况，Y 表示未服过新药的病人的痊愈情况，比较得：
EY EX >，说明新药疗效显著。
2. ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-5.01.04.0101P X
3. 先求分布律，再求数学期望
4.1)21(,2.0=--=X E EX 。
4. 2222)1(4
1
),1(41,1,41,41-=-==-==
e e DX e EX c b a . 5. 19.3元. 6. 28天，5万元. 7. 7. 9元.
8. 2275.2,3275
.1,65.0,35.0====DY DX EY EX ；31.5)(,3.0)(=--=-Y X D Y X E .。