概率论与数理统计练习题、选择题: 二、填空题:14.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x )，则E(X) 0三、计算题：1.袋中有5个乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编 号，求E(X)解：X 的可能取值为3, 4, 5E(X) 3 丄 4 色 5 34.51010 51/5 1/6 1/5 1/15 11/30系 _____ 第四章 专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一)学号1 •设随机变量 X 的可能取值为0, 1,相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01，则 E(X)0.52 .设X 为正态分布的随机变量，概率密度为f(x)2?2 e(x 1)228，贝U E(2X 1)，则 E(X 3X 2)116/151 •设随机变量X ,且 E(X)存在，则 E(X)是(A )X 的函数(B )确定常数随机变量(D )x 的函数2 .设X 的概率密度为f(x)1 xe 9 9 0，则E(9X)3 •设 xx e 9dx1 (B)9xx e 9dx(C )(D ) 1是随机变量,E( )存在，若¥，则E() E()(B)罟(C ) E()P(X 3)110，P(X4)C 53 10P(X5)§ 102 •设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2(1%)0甘它1，求E(X)0 其它23•设随机变量X~N(,)，求E(|X I)(1) Y 1e 2X( 2)Y 2 max{ X, 2}解：(1)E(Y)2x x1e e dx 03(2) EM)2 x2e dxxe 0 2xdx2 2e 2 3e 222e(3) E(Y 3)2 e x dx 2e x 0 2 dx1 c2c2」23e2e1 e概率论与数理统计练习题________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________第四章 随机变量的数字特征(二)、选择题:解：E(X)X2(1 x)dx解：|x(x )21—dx 令y 2yI y |e 2dy4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x)x 0，试求下列随机变量的数学期望。
x 0(3) Y min{ X,2}22~2 o ye dy1.已知E(X) 1,D(X)3,则 2E[3(X2)][B ](A ) 9(B ) 6(C):30(D ) 362 .设 X ~ B(n, p) ，则有[D ](A ) E(2X 1) 2np(B ) D(2X 1) 4n p(1 p) 1(C ) E(2X 1) 4np 1(D ) D(2X1) 4n p(1 p)3 .设服从参数为的泊松分布，2 3，则[D ](A ) E( ) 2 3 D( ) 2 3 (B ) E() 2 D( ) 2(C ) E( ) 23 D( )43(D ) E()23 D( ) 4、填空题:二、计算题:解：E(X)1 0.32 0.53 0.2 1.9 D(X) 2E(X ) 2(EX)1 0.324 0.59 0.2 (1.9)0.49E(Y)2E(X)1 2.81 .设随机变量X 的可能取值为 1, 2, 3，相应的概率分布为0.3,0.5 , .02，求:望与方差; D(Y) 4D(X)1.961 •设随机变量X 的可能取值为 0,1 , 2，相应的概率分布为0.6,0.3 , .01，则 D(X)0.45 2 .设随机变量 X 的密度函数为f(x)1e |x| (2e ()，则 D(X)3 .随机变量X 服从区间［0, 2］上的均匀分布，则D(X) 2[E(X)] 1/34.设正态分布 1/22X 1的期Y 的密度函数是D(X)2 •设随机变量 X ~ N(0,1)，试求 E |x|、D|X|、E(X 3)与 E(X 4)x 2解： E|X |1 — | x | e2 dx42x 2x 2 ,-^= e 2 dx = 22e 2x"2"D|X |2 2E(|X | )(E|x|)E(X 2)x 2 E(X 2)2 x2 “ -^e 2dx2x 2 ~21 r -2-[xeX 2 ~2x 2e 2dx] = 1所以D|X| 1E(X 3)x 3x 2e 2 dxE(X 4)4x 2le ydxx 3 de22X ~2x 2 r e2dx = 33.设随机变量 X 的分布密度为 ax f(x) bx(1)常数A , B, C 的值; 解：(1)2 E(X)axdx x 其它4 ,已知E(X)32,P (1 X 3) -，求:(2)方差 D(X)； 4 2 x(bx c)dx (3 )随机变量 Y e X的期望与方差。
|2 314 c 2 .4 2x |2 56 b 36cP(1 X3)f (x)dx 1 得 2a 6b 2c 17(7 +)e 2x ]：[坯2 1)2]2 4 2 4 4^e 2(e 21)24概率论与数理统计练习题系专业班学号「、选择题：第四章 随机变量的数字特征（三）1.对任意两个随机变量X 和 Y ，若 E(XY) EX EY ，贝U[B ](A ) D(XY) D(X)D(Y) (C ) X 与Y 相互独立2•由D(X Y) D(X) D(Y)即可断定所以解得a4，b1 -,c4 1.D(X) (x2)2f (x)dx□x(x 2)2dx44 2(11x)(x 2)2dx 4E(Y)D(Y) e xf (x)dx2 2E(Y ) (E(Y))xe xdx4 2(1-x)e x dx 4 e 2xf (x)dx1 2 2 2[泸 1)]丄(e 4 1)2 [-(e 216 41)2]24(2 抄 |0 [(B ) D(X Y) D(X) D(Y)(D ) X 与Y 不相互独立(A) X与Y不相关(B) F(x,y) F x(x) F Y W) (C) X与Y相互独立(D)相关系数XY 1【、填空题：1 •设维随机变量(X,Y)服从N(0,0,1,1,0)，则D(3X 2Y) _13E(XY) ( 1)( 1) 0.125 ( 1) 0 0.125 ( 1) 1 0.1250 1(1) 0.125 0 1 1 0.125 = 0xy E(XY) E(X)E(Y) 0所以X与Y不相关。
P(X 1,Y 1) 0.125 工P(X 1)P(Y 1) 0.375 0.375所以X与Y不相互独立。
2•设D(X) 25, D(Y) 36, XY 0.4，求：D(X Y), D(X Y)解：Cov(X,Y) xy . D(X) . D(Y) 0.4 5 6 12D(X Y) D(X) 2Cov(X,Y) D(Y) 85 ,D(X Y) D(X) 2Cov(X,Y) D(Y) 373 •设X ~ N(0,4), Y ~ U (0,4)，且X, Y 相互独立，求:E(XY) ,D(X Y), D(2X 3Y)解：E(X) 0 , D(X) 4 ,4 0 42 4xy 0 E(Y) 2 ,2D(Y)123，E(XY) 0,D(X Y) D(X) D(Y) 4 - 167,D(2X 3Y) 4D(X) 9D(Y) 16 12 282x 0 x 1 e (y 5)y0 y 54 .设X, Y相互独立，其密度函数分别为f x (X) 0其它f Y(y) ，求5E(XY)i 2X3 41 2解：E(X) x 2xdx |o0 3 3E(Y) 5 y e (y 5)dy e5e y(y 1)k 652E(XY) E(X)E(Y) — 6 435.(1)设随机变量W (aX 3Y)2,E(X) E(Y) 0,D(X) 4,D(Y) 16, XY 0.5。
求常数a使E(W)为最小，并求E(W)的最小值。
2(2)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且有D(X) X , D(Y) 二证明当a2七时,Y 随机变量W X aY与V X aY相互独立。
解：(1)W a2X2 6aXY 9Y2E(W) E[a2X2 6aXY 9Y2] a2E(X2) 6aE(XY) 9E(Y2)2 2 2a [D(X) (E(X)) ] 6aE(XY) 9[D(Y) (E(Y))]4a 2 24 a 144 4(a 2 6a 36)4[(a 3)2 27]当a 3时，E(W)最小，最小值为108。
X aY 相互独立，则 E(WV) E(W)E(V) 02 2 2 2 2 2由于 E(WV) E(W)E(V) E(X a Y ) (E(X)) a (E(Y))D(X) a 2D(Y)2所以 a 2Y概率论与数理统计练习题系专业班学号、选择题：第五早大数疋律与中心极限疋理1 •设n是n 次重复试验中事件 A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意3• X 1,X 2,L , X 1000是同分布相互独立的随机变量， X j ~B(1,p)，则下列不正确的是[D ](2)要使随机变量 W X aY 与V的0均有lim P{n-P}nn(A )(B )1 (C )2 •设随机变量X ,若E(X 2) 1.1, D(X) 0.1，则一定有[A ](D )不存在[B ](B ) P{0 X 2}0.9 (C ) P{| X 1| 1}0.9(D) P{| X} 1}0.1(A) P{ 1 X 1}0.9二、计算题:(0.5,0.5)上服从均匀分布。
(1) 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过 (2) 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于15001500解：(1) X : U ( 0.5,0.5), E( X i )0,D( XJ 1500i 1i 11 1000")1000 i 1 X i p(B ) P{ai 1000X i b}1(b 1000P) 1000pq(a 1000p) 1000pq1000(C ) X i ~ B(1000, p)i 1(D ) P{a1000X i b} i 1(b) (a)二、填空题:1 •对于随机变量 X ,仅知其E(X) 3, D(X)—，则可知P{| X 3| 3}25224 2252 •设随机变量X 和Y 的数学期望分别为 2和2，方差分别为1和4，而相关系数为 0.5，则根据契比雪夫不等式 P X Y 61 121.设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量,其数学期望为0.5kg ，均方差为0.1kg ，问5000只零件的总重量超过 2510kg 的概率是多少? 解：设第i 件零件的重量为随机变量X i ,根据题意得EX , 0.5/D X0.1.5000E( X i )i 15000 50000.5 2500, D( X i )5000 0.0150.i 15000P( X ii 12510) 5000X i 2500p (「--V501(迈)1 0.92072 •计算器在进行加法时, 0.0793.将每个加数舍入最靠近它的整数, 设所有舍入误差是独立的且在15的概率是多少？ 10的概率不小于 0.90 ?—125. 1215001500P(|i 1X i | 15) P(X ii 1.1252[1 2[1 (1.34)] 0.18.(2) P(|iX i |10) 根据 的单调性得0.9010 (=)0.95. 12——1.645，故 n，；212 (^^)2 443.4.1.645所以n 最多为443个数相加•3 •某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为 0.8,医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于 75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断 言。