届山东省德州市高三第一次练兵（理数）1.i 是虚数单位，)1(13+-i i i =（ ）(A)-1 (B)1 (C)-i (D) i2. 已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（）A ．64B ．100C ．110D ．1203. 已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a =（ ）A ．1- B． C ．1-或 D ．1或4. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数与优秀率分别为 ． A 800 20% B 980 20%C 980 10%D 800 10%5．命题p ：若1||1||||,>+>+∈b a b a R b a 是，则的充分不必要条件； 命题q ：函数),3[)1,(2|1|+∞⋃--∞--=定义域是x y ，则 （ ）A ．“p 且q ”为假B ．“p q 或”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真6．已知正四棱锥S-ABCD 的三视图如下，若E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成角的余弦值为（ ）2 22(A)31(B) 32 (C) 33 (D) 33117.若实数,x y 满足1|1|ln 0yx --=,则y 关于x 的函数的图象大致是( ).8、、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：① 若γαβα//,//，则γβ//; ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m;③ 若βα//,m m ⊥，则βα⊥; ④若α⊂n n m ,//，则α//m .其中真命题的序号是 ( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 9. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2y x =和曲线y x =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）1610. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为}{),2,1,0(1,0,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中201100,a h h a a h ⊕=⊕=，⊕运算规则为.011,101,110,000=⊕=⊕=⊕=⊕例如原信息为111，则传输信息为01111，传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是（ ） (A)11010 (B)01100 (C)10111 (D)0001111．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（1，2）C ．（1，1+2）D ．（2，1+2）12.令3tan ,sin ,cos ,|04442a b c ππππθθθθθθθθθ⎧====-<<≠≠≠⎨⎩且且则如图所示的算法中，给θ一个值，输出的为θsin ，则θ的范围是（ ）O1xyO1 xyO1xy1O1xy1A.B. C.D.2(A) )0,4(π-(B) )4,0(π(C) )2,4(ππ (D) )43,2(ππ 二、填空题13. 实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥,022,0,0y x y x y 则11+-=x y ω的范围14.若3162727n n nC C ++=,则展开式中的常数项是____________________ 15．设M 是),,,()(,30,32,p n m M f BAC AC AB ABC =︒=∠=⋅定义且内一点∆其中p n m 、、分别是yx y x M f MAB MCA MBC 41),,21()(,,,+=则若的面积∆∆∆的最小值是_______________.16. 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高，给出以下结论： ①B c AC sin =；②22()2cos BC AC AB b c b A ⋅-=+-；③AB AH BC AB AH ⋅=⋅+⋅)(④2AH AC AH =⋅. 其中正确的是___________（写出所有你认为正确结论的序号） 三、解答题17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，b ，c 分别为内角B ，C 的对边长，设向量),2sin ,2(cos A A m -=22),2sin ,2(cos =⋅=n m A A n且有. （1）求角A 的大小； （2）若5=a ，求三角形面积的最大值.18．（本小题满分12分）某休闲会馆拟举行“五一”庆祝活动，每位来宾交30元的入场费，可参加一次抽奖活动. 抽奖活动规则是：从一个装有分值分别为1，2，3，4，5，6的六个相同小球的抽奖箱中，有放回的抽取两次，每次抽取一个球，规定：若抽得两球的分值和为12分，则获得价值为m 元的礼品；若抽得两球的分值和为11分或10分，则获得价值为100元的礼品；若抽得两球的分值和低于10分，则不获奖. （1）求每位会员获奖的概率；（2）假设会馆这次活动打算即不赔钱也不赚钱，则m 应为多少元？19（本题满分12分）如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且12AF AD a ==，G 是EF 的中点.（1）求证平面AGC ⊥平面BGC ； （2）求GB 与平面AGC 所成角正弦值； （3）求二面角B —AC —G 的平面角的正弦值20. （本小题满分12分）设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*2()2n n S a n =∈-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 使11122(21)22n n n a b a b a b n ++++=-+*()n ∈N ，求{}n b 的通项公式；（3）设*21()(1)n n c n b =∈+N ，且数列{}n c 的前n 项和为T n ，试比较T n 与14的大小．21.(本小题满分12分)已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （1）求)(x f 、)(x g 的表达式；（2）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (3）当1->b 时,若212)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围. 22．（本小题满分14分）过点T （2，0）的直线2:+=my x l 交抛物线y 2=4x 于A 、B 两点.（1）若直线l 交y 轴于点M ，且,,21λλ==当m 变化时，求21λλ+的值；（2）设A 、B 在直线n x g =:上的射影为D 、E ，连结AE 、BD 相交于一点N ，则当m 变化时，点N 为定点的充要条件是n =－2.参考答案⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21. -80 18 ①②③④ 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，b ，c 分别为内角B ，C 的对边长，设向量),2sin ,2(cos A A m -=22),2sin ,2(cos =⋅=n m A A n且有. （1）求角A 的大小； （2）若5=a ，求三角形面积的最大值.17、解：（1）由22=⋅n m得：22cos sin 222A A -=即cos 2A =因为 ),0(π∈A ，所以4π=A ·······························5分（2）由2222cos a b c bc A =+-得：5222=-+bc c b ··················7分又bc c b 222≥+ ∴bc )22(5-≤∴2)22(5+≥bc ·············10分 ∴21)(=∆man ABC S 222)22(5⋅+ 4)12(5+=·······························12分 18．（本小题满分12分） 某休闲会馆拟举行“五一”庆祝活动，每位来宾交30元的入场费，可参加一次抽奖活动. 抽奖活动规则是：从一个装有分值分别为1，2，3，4，5，6的六个相同小球的抽奖箱中，有放回的抽取两次，每次抽取一个球，规定：若抽得两球的分值和为12分，则获得价值为m 元的礼品；若抽得两球的分值和为11分或10分，则获得价值为100元的礼品；若抽得两球的分值和低于10分，则不获奖. （1）求每位会员获奖的概率；（2）假设会馆这次活动打算即不赔钱也不赚钱，则m 应为多少元？ 18．解：（1）两次抽取的球的分值构成的有序数对共有36对，其中分值和为12的有1对，分值和为11的有两对，分值和为10的有3对，所以每位会员获奖的概率为6136321=++=p ；…………………………………………………………4分 （2）设每位来宾抽奖后，休闲宾馆的获利的元数为随机变量ξ，则 ,3653632)70(,361)30(=+=-==-=ξξp m p ,65)30()70(1)30(=-=--=-==m p p p ξξξ…………………………8分则宾馆获利的期望为365803065)70(365)30(361mm E -=⨯+-⨯+-⋅=ξ若会馆这次活动打算既不赔钱也不赚钱，则E ξ=0，所以，m =580.……………………………………………………………………12分19（本题满分12分）如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且12AF AD a ==，G 是EF 的中点.（1）求证平面AGC ⊥平面BGC ； （2）求GB 与平面AGC 所成角正弦值； （3）求二面角B —AC —G 的平面角的正弦值19. 解法一（几何法）（1）证明：正方形ABCD AB CB ⊥⇒ ∵面ABCD ⊥面ABEF 且交于AB ，∴CB ⊥面ABEF ∵AG ，GB ⊂面ABEF ， ∴CB ⊥AG ，CB ⊥BG 又AD=2a ，AF=a ，ABEF 是矩形，G 是EF 的中点，∴AG=BG=a 2，AB=2a ，AB 2=AG 2+BG 2，∴AG ⊥BG ∵CG ∩BG=G ， ∴AG ⊥平面CBG 面AG ⊂面AGC ， 故平面AGC ⊥平面BG C.…4分 （2）解：如图，由（Ⅰ）知面AGC ⊥面BGC ， 且交于GC ，在平面BGC 内作BH ⊥GC ， 垂足为H ，则BH ⊥平面AGC ， ∴∠BGH 是GB 与平面AGC 所成的角 ∴Rt △CBG 中a BG BC BG BC CGBGBC BH 33222=+⋅=⋅=又BG=a 2，∴36sin ==∠BG BH BGH ……8分 （3）由（Ⅱ）知，BH ⊥面AGC ， 作BO ⊥AC ，垂足为O ，连结HO ， 则HO ⊥AC ，∴∠BOH 为二面角B —AC —G 的平面角在Rt △ABC 中，a BO 2=在Rt △BOH 中，36sin ==∠BO BH BOH 即二面角B —AC —G 的平面角的正弦值为63……12分 [方法二]（向量法）解法：以A 为原点，AF 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AD 所在直线为z 轴建立直角坐标系， 则A （0，0，0），B （0，2a ，0），C （0，2a ，2a ），G （a ，a ，0），F （a ，0，0） （1）证明：略（2）由题意可得(,,0),(0,2,2)AG a a AC a a ==，(,,0),(0,0,2)BG a a BC a =-=， 设平面AGC 的法向量为111(,,1)n x y =，由11111111001(1,1,1)22010AG n ax ay x n ay a y AC n ⎧⋅=+==⎧⎧⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+==-⋅=⎩⎩⎪⎩11||6sin ||||23BG n BG n a θ⋅===⋅⋅（3）因111(,,1)n x y =是平面AGC 的法向量，又AF ⊥平面ABCD ， 平面ABCD 的法向量(,0,0)AF a =， 得11||3|cos |||||3n AF n AF a θ⋅===⋅∴二面角B —AC —G 6设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*2()2n n S a n =∈-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 使11122(21)22n n n a b a b a b n ++++=-+*()n ∈N ，求{}n b 的通项公式；（3）设*21()(1)n n c n b =∈+N ，且数列{}n c 的前n 项和为T n ，试比较T n 与14的大小．解：（1）∵*2()2n n S a n =∈-N ，∴1122n n S a ++=-，于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（2 a n ＋1－2）－（2 a n －2），即a n ＋1＝2a n . …………2分 又a 1＝S 1＝2 a 1－2, 得a 1＝2. …………1分 ∴{}n a 是首项和公比都是2的等比数列，故a n ＝2n . …………1分 (2) 由a 1b 1＝（2×1－1）×21＋1＋2＝6及a 1＝2得b 1＝3. …………1分 当2n ≥时，11122(21)22n n n n a b a b a b +-+=+++[](1)1(23)22(1)1222n n n n n n n n a b a b -+-=--++=++，∴1(21)2(23)2(21)2n n nn n a b n n n +=---=+. …………2分∵a n ＝2n ，∴b n ＝2n ＋1（2n ≥）. …………1分 ∴*3,(1),21().21,(2)n n b n n n n ===+∈+≥⎧⎨⎩N …………1分（3）2221(1)111111(22)4(1)4(1)41n n b c n n n n nn +===<=-++++⎛⎫⎪⎝⎭. …………3分 121111111111142231414n n T c c c n n n =+++<-+-++-=-<++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …………2分 21.(本小题满分12分)已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （1）求)(x f 、)(x g 的表达式；（2）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (3）当1->b 时,若212)(xbx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围. 21.解: （1）,2)(xax x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立,∴2≤a ①…………………………1分又xa x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x .∵上式恒成立,∴.2≥a ② …………………………2分 由①②得2=a .…………………………3分∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-=…………………………4分（2）由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(xx x x h +--='则 令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x ……………………5分 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 …………………………6分 列表分析:可知)(x h 在1=x 处有一个最小值0, …………………………7分当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解.即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解. …………………………8分（3） 设2'23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x ϕϕ=--+=---<则, ………………9分 ()x ϕ∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥ 又1b >- ……………11分所以：11≤<-b 为所求范围. …………………………12分22．（本小题满分14分）过点T （2，0）的直线2:+=my x l 交抛物线y 2=4x 于A 、B 两点.（1）若直线l 交y 轴于点M ，且,,21λλ==当m 变化时，求21λλ+的值；（2）设A 、B 在直线n x g =:上的射影为D 、E ，连结AE 、BD 相交于一点N ，则当m 变化时，点N 为定点的充要条件是n =－2.22．解：（1）设),(),,(2211y x B y x A由.0844222=--⎩⎨⎧=+=my y xy my x 得.8,42121-==+∴y y m y y ………………………………………………2分又),,2()2,(,),2,0(111111y x my x AT MA n M --=+=-λλ即.21,211111my y m y --=-=+∴λλ得同理，由.21,222my --==λλ得………………………………4分.1882)(22)11(2221212121-=+-=+--=+--=+∴mmy my y y y y m λλ…………6分 （2）方法一：首先n =－2时，则D （－2，y 1），A （),,2(),,2(),,222211y my B y E y my +-+)2(4:2121++-=-x my y y y y l DB ①)2(4:1212++-=-x my y y y y l EA ②…………………………………………8分①－②得,).4141)()(2(12121212y y my my y y x y y ≠+++-+=-.04884241411222121212=+-=++=-+++=∴my m m my y my y y m my my x.)0,0(为定点N ∴…………………………………………………………10分反之，若N 为定点，设此时),,(),,(21y n E y n D 则).,2(),,(221y my NB y n ND +==由D 、N 、B 三点共线，.022121=-+∴ny y y my ③同理E 、N 、A 三点共线，.021221=-+∴ny y y my ④………………12分 ③+④得,0)()(22212121=+-++y y n y y y my即－16m +8m －4m =0，m (n +2)=0.故对任意的m 都有n =－2.……………………………………………………14分方法二：当m =0时，A （2，22），B （2，－2），D （n ，22），E （n ，－22）.∵ABED 为矩形，∴直线AE 、BD 的交点N 的坐标为（).0,22+n ………………8分当),,22(),,22(),,(),,(,021121y n y x n y n E y n D m -=--+=≠ 时(*))2(28)2(2)(2222)222(22)22(2112121121n m m n m y my y y n y n y my n y n y x n +=+-=-+-=-+--+=-+-+则同理，对、进行类似计算也得（*）式.………………………………12分 即n =－2时，N 为定点（0，0）.反之，当N 为定点，则由（*）式等于0，得n =－2.…………………………14分。