例极限内， T
’
T 2πR02δ
g R0 / l
p
g
b
d
g
g
剪切胡克定律： G g 当切应力不超过材料的剪切比例极限p时( ≤p)，切应力
与切应变成正比关系。
16
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
Gg
式中：G是材料的一个弹性常数，称为切变模量，因g 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验
第九章 扭转
§9–1 引言 §9–2 动力传递与扭矩 §9–3 切应力互等定理与剪切胡克定律 §9–4 圆轴扭转横截面上的应力 §9–5 极惯性矩与抗扭截面系数 §9–6 圆轴扭转破坏与强度条件 §9–7 圆轴扭转变形与刚度条件
1
扭转的概念和实例
§9-1 引言
外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶 变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线仍为
g
d
dx
剪切胡克定律 G g
G
d
dx
d / dx－扭转角沿长度方向变化率
20
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
G
d
dx
静力学方面
A dA T
应力与变形公式
G d 2dA T
dx A
d T
dx GIp
T
Ip
Ip
2dA
A
－极惯性矩
最大扭转切应力
max
TR Ip
T Ip
max
直线－扭转变形 扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式－扭转
以扭转为主要变形的杆件－轴 扭 力 偶：作用面垂直于杆轴的力偶－扭力偶 扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩
2
§9-1 引言
Ag
M
B
O
B’
M
相对扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的相对角位移。
切应变（γ） ：直角的改变量。
3
§9-1 引言
bd
b
d
T A
A放大
13
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
薄壁圆筒扭转时的切应力公式
dA
T
2π
0 R0
R0d
2πR02
T 2πR02δ
公式精度
R0
TO
当 ≤R0 /10 时，误差≤4.53
14
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
二、切应力互等定理
M z 0
[ ( dx)]dy [ ( dy)]dx 0
③所有矩形网格均变为同样大小的平行四边形。
g－切应变
－相对转角
g与的关系： g l R g R / l
12
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
微小矩形单元体： ① 无正应力 ② 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切
应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
a gc
ac
MA
MB
MC
解: (1)计算扭力偶矩
A
BLeabharlann MB9549 PB n
M
A
9549
PA n
C
9549 4 76.4 N m
500
9549 10 191N m 500
MC
9549
PC n
9549 6 500
114.6 N m
9
§9-2 动力传递与扭矩
(2)计算扭矩 AB段
MA 1 MB 2 MC
确定。
切变模量G、弹性模量E 、泊松比m 是表明材料弹性性
质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在
下列关系：
G E
2(1 m)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个 量就可以推算出来。
17
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
等直圆杆扭转实验观察： • 各圆周线的形状不 M 变,仅绕轴线作相对 转动 M • 当变形很小时，各 圆周线的大小与间 距均不改变
M x 0 T1 M A 0
T1 M A 76.4 N m
A 1 B2 C
BC段
MA
MC
M x 0 T2 MC 0 T2 MC 114.6 N m
x
T1
T2
x
T
76.4 Nm
(3)绘制扭矩图
x
114.6 Nm
10
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
工 程 实 例
F
F
4
§9-1 引言
工 程 实 例
5
§9-2 动力传递与扭矩
一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系
已知：动力装置的输出功率 P（kW）,转速 n（r/min） 试求：传递给轴的扭力偶矩 M（N.m）
设角速度为 (rad/s)
P M
P 103 M 2πn
60
M N
m
P 9549 n kW
扭转平面假设 各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动
18
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
扭转切应力的一般公式： 等直圆杆横截面应力
①几何方面 ②物理方面 ③静力学方面
取楔形体O1O2ABCD 为研究对象
微段扭转
变形 d
19
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
几何方面
物理方面
g
tan g
dd' ad
T Wp
R
Wp
Ip R
－抗扭截面系数
21
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
结论 1 研究方法：从试验、假设入手，综合考虑几何、物 理与静力学三方面
2 扭转变形基本公式： d T
y
a
’ gd
dy
’
b
c
z
dx
x
上式称为切应力互等定理，即：在微体的两个互垂截面上， 垂直于截面交线的切应力数值相等，而方向则均指向或离 开该交线。
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切。
15
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
三、剪切胡克定律
’
试验表明：在剪切比
a
gc
薄壁圆筒：壁厚
1 10
R0
（R0：为平均半径）
M
M
R0
实验现象： 1 实验前： ①绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 M。
11
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
R
l
2 实验后：①圆筒表面的各圆周线的形状不变，仅绕轴线作
相对旋转；当变形很小时，各圆周线大小和间
距也不变。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 g
r / min
例: P＝5 kW, n=1450 r/min, 则
M
9549
5 1450
N
m 329N
m
6
二、扭矩与扭矩图
§9-2 动力传递与扭矩
扭矩 矢量方向垂直于所切横截面的内力偶矩，用T表示
扭矩的计算方法 截面法
x Mx 0 T M 0
M
M
M
T
T M
扭矩的符号规定 “T ”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正，
反之为负。
7
§9-2 动力传递与扭矩
扭矩图 表示扭矩沿轴线变化情况的图线
x
M
M
T M
目的：
x
① 扭矩的变化情况；
② 确定出最大扭矩的数值及其所在横截面的位置。
8
§9-2 动力传递与扭矩
例 2-1：已知一传动轴， 转速 n =500r/min，B为主动轮，输
入 PB=10kW，A、C为从动轮，输出功率分别为 PA=4kW， PC=6kW。试计算轴的扭矩并绘制扭矩图。