在微体的左、右两个侧面上，力偶之矩为
τδdydx。
顶面与底面的两个力所构成
的力偶之矩为τ’δdxdy。 微体平衡，则 τ = τ’。
纯剪切：如上述微体的四个侧面上，仅 存在切应力而无正应力的应力状态。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
剪切虎克定律 ： τ ＝G γ
在切应力作用下，微体发生切应变。 薄壁圆管的扭转试验表明：当切应力不超过材
3
16T

3
16 1.5103
50106
0.0535m
Wp

d 3
16
取 d=54mm （注意取法）
(2)确定空心轴的内、外径
do

3

16T
14


3

16 1.5 103 1 0.94 50 106
0.0763m
则其内径为: di=0.9do=0.90.0763=0.0687m 取 do=76mm，di=68mm（注意）
扭力偶矩：使杆产 生扭转变形的外力 偶之矩。
第一节 引 言
轴：凡以扭转为主要变形的直杆称为轴。
第一节 引 言
扭转角：轴的变形以横截面间绕轴线的相 对角位移称扭转角。
第二节 动力传递与扭矩
功率、转速与扭力偶矩之间的关系
功率P=Mω，又 1W=1N·m/s
于是上式变为
P*103=M*2πn/60
（3）重量比较
由于空心及实心圆轴的长度及材料均相同，所以，二者的 重量比等于其横截面面积之比，即
＝
d02

d
2 i
4
4
d 2
0.0762 0.0682

0.0542
0.395
上述数据充分说明，空心轴比实心轴轻。即空心轴省材料。
例题
例 题 4
已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝ 40MPa,
M2 B
d1 M1
A
d2 M3
C
M1

9550 P1 n
9550 368 8.3 60

7057N
m
M2

9550 P2 n
9550 147 8.3 60

2819N
m
2
1
3
M3
9550 P3 n

9550 221 8.3 60

4238N
m
(2)求扭矩
T1 M 2 2819N m
横截面的扭矩T即为：
T
2 0
Ro2
d

2Ro2
薄壁圆管扭转的切应力为：
＝ T 2Ro2
当 Ro /10 时，该公式足够精确。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
纯剪切与切应力互等定理： 切应力互等定理：在微体的两个相互垂直
的截面上，切应力总是同时存在，且大小 相等，方向则共同指向或共同背离两截面 的交线。
T1 M A 76.4N m T2 -M C -114.6N m
（3）画扭矩图 根据上述分析，画扭矩图，扭矩的最大绝对值为
T max
T2
114.6N m
T
76.4N·m
x
114.6N·m
例题
一传动轴如图，转速
n

300
r min
；
主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的
校核此轴的强度。若在同样强度条件下，将
空心轴改成实心轴，试确定其直径，并比较
二者的重量。
解：（1）计算抗扭截面系数
d D 2 89 2 2.5 0.944
DD
89
WP 0.2D3 1 4 0.2893 1 0.9444
2.9104 mm3 2.9105 m（3 注意单位）
第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图 扭转变形的内
力： —扭矩。 扭矩 ：即n－n
截面处的内力偶 矩。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。
指向截 面外侧 为正
指向截 面内侧 为负
第二节 动力传递与扭矩
扭矩图 ：表示扭矩沿轴线变化情况 的图线 。
例题1 图示传动轴,转速n=500r/min，轮B 为主 动轮，输入功率PB=10kW ，轮A与轮C均为从动 轮，输出功率PA=4kW， PC=6kW 。试计算轴的 扭矩，并画扭矩图。
max

Tmax WP


第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
Ip＝
d
32
4
对于实心圆截面
d 3
Wp= 16
对于圆环截面
Ip＝
D
32
4
(
1-
4
)
Wp=
D
16
3
(
1-
4
)
=d / D
例1 已知传动轴的转速n=8.3s-1，主动轮输入功率 PP[θ12==]=31164087/kkmWW，，，G从 P=3动=802轮G221P、akW。3分，试别按[τ输强]=出度7功条0M率件P为求a，AB段的直 径定dd1的；大B小C段。的直径d2；若两段采用同一直径d，试确 解 (1)求外力偶矩
N
m

4.78
kN m
M4

(9.55103

200) 300
Nm

6.37 103
Nm

6.37
kN m
2. 计算各段的扭矩 BC段内： T1 M2 4.78 kN m 注意这个扭矩是假定为负的
CA段内：T2 M 2 M3 9.56 kN m (负) AD段内：T3 M 4 6.37 kN m
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN·m。
第二节 动力传递与扭矩
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传 动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？
4.78
6.37
15.9
4.78
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
薄壁圆管的扭转应力
从圆管上切取一微体abcd，微体既无轴向正 应变，也无横向正应变，只是相邻横截面ab与cd 之间发生相对错动，即仅产生剪切变形；而且， 沿圆周方向所有微体的剪切变形均相同。
料的剪切比例极限τ p时，切应力与切应变成正比， 即 τ γ 。引入比例系数 G， 则τ ＝G γ 。
G－切变模量（剪切弹性模量）， 单位为Gpa，其值随材料而异， 由实验测定。
第四节 圆轴扭转横截面上的应力
平面假设：变形后，横截面仍保持为平面，其形状、 大小与间距均不变，而且，半径仍为直线。
最大扭转切应力
（2）强度校核
max
T Wp

1930 2.9 105
66.7 106 Pa 66.7MPa
70MPa
满足强度条件
（3）确定实心轴直径，并比较其重量

max

T WP

T 0.2d实3
d实
3
T
0.2 max

1930 0.2 66.7106
0.053m 53mm
第五节 圆轴扭转破坏与强度条件

()＝Βιβλιοθήκη MxIp圆轴扭转时横截面上的最大切应力
当 ＝ max 时， ＝ max
max=
Mx
Wp
Wp=
Ip
max
Wp 扭转截面系数
第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
强度条件：
max


T WP
max


对于等截面圆轴 ：
由 此 得
M Nm

9549
Pk nr
W
min
若转速n的单位为r/s,
则
M Nm

159.2
PkW nr
s
式中：
P=Mω—功率，即力偶在单位时间内 所作之功 ，单位为kW（千瓦）；
M—力偶矩，单位为N·m（牛顿·米）；
ω—相应角速度；
{n}—轴的转速，单位为r/min（转／ 分），或r/s（也可表示为s-1）（转／ 秒）。
第九章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件
第一节 引 言
扭转：以横截面绕轴线作相对转动为主要 特征的变形形式，称为扭转。
第一节 引 言
扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶。
解（1）扭力偶矩计算
MA
9549 PA n
9549 4 500
76.4N m
MB
9549 PB n
9549 10 500
191N m
MC
9549 PC n
9549 6 114.6N m 500
（2）扭矩计算 设AB与BC段的扭矩为正，并分别用T1和T2表示，则

8.088 107
Pa

80.88MPa
max,2

16T2
D23
1


d2 D2
4



16( 100N m )

0.0223
1


0.018
4

0.022

8.67 107
Pa

86.7 MPa
Τmax,1与τmax,2均小于许用切应力，说明轴满足强度条件。