考点测试7 函数的奇偶性与周期性高考概览本考点是高考的必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性一、基础小题1．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则实数a ＝( )A ．12B ．23C ．34 D ．1 答案 A解析 函数f (x )的定义域为xx ≠－12且x ≠a ．∵奇函数定义域关于原点对称． ∴a ＝12．故选A ．2．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．4 答案 B解析 由题意知f (－x )＝－f (x )且f (x ＋2)＝f (x )，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝f (1)＋f (0)＋f (－1)＝0．故选B ．3．已知f (x )为奇函数，在[3，6]上是增函数，且在[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)＝( )A ．－15B ．－13C ．－5D ．5 答案 A解析 因为函数在[3，6]上是增函数，所以f (6)＝8，f (3)＝－1．又因为函数为奇函数，所以2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×8＋1＝－15．故选A ．4．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为( )A ．－14B ．14C ．12D ．－12答案 B解析 解法一：设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．故选B ．解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．故选B ．5．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98 答案 A解析 由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7)＝－f (5)＝f (3)＝－f (1)＝－2．故选A ． 6．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( ) A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．e x ＋e －xD ．12(e x －e －x )答案 D解析 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x，所以g (x )＝12(ex －e －x)．故选D ．7．已知函数f (x )＝g (x )＋x 2，对于任意x ∈R 总有f (－x )＋f (x )＝0，且g (－1)＝1，则g (1)＝( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3答案 D解析因为对于任意x∈R总有f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)为奇函数，f(－1)＝g(－1)＋1＝－g(1)－1＝－f(1)，所以g(1)＝－3，故选D．8．若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则( )A．f(2)>f(3) B．f(2)>f(5)C．f(3)>f(5) D．f(3)>f(6)答案 D解析由y＝f(x＋4)为偶函数，得f(－x＋4)＝f(x＋4)，则f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)，C错误；又f(x)在(4，＋∞)上为减函数，则f(5)>f(6)，即f(3)>f(2)，A错误；f(5)>f(2)，B错误；f(3)>f(6)，D正确．故选D．9．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1] B．[－1，1]C．(－∞，2] D．[－2，2]答案 B解析因为函数f(x)为偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1，2]恒成立等价于f(a)≥f(x)max＝f(1)，所以|a|≤1，解得－1≤a≤1，即实数a的取值范围为[－1，1]，故选B．10．已知函数f(x)满足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0，则f(x)( ) A．为奇函数B．为偶函数C．为非奇非偶函数 D．奇偶性不能确定答案 B解析令x＝y＝0，则2f(0)＝2f2(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1．令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，即f(－y)＝f(y)，所以函数f(x)是偶函数．故选B．11．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________．答案 4解析因为f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)对于任意的x都成立，即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)(－x－4)，所以x2＋(a－4)x－4a＝x2＋(4－a)x－4a，所以a－4＝4－a，即a＝4．12．设函数f(x)＝x3cos x＋1．若f(a)＝11，则f(－a)＝________．答案－9解析记g(x)＝x3cos x，则g(x)为奇函数，故g(－a)＝－g(a)＝－[f(a)－1]＝－10，故f(－a)＝g(－a)＋1＝－9．二、高考小题13．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )A．－50 B．0 C．2 D．50答案 C解析因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，所以f(3＋x)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，所以T＝4，因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，因为f(2)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，故选C．14．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A．[－2，2] B．[－1，1]C．[0，4] D．[1，3]答案 D解析∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1．故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3．故选D．15．(2017·天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25．1)，b＝g(20．8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜a＜c D．b＜c＜a答案 C解析依题意a＝g(－log25．1)＝(－log25．1)·f(－log25．1)＝log25．1·f(log25．1)＝g(log25．1)．因为奇函数f(x)在R上是增函数，可设0＜x1＜x2，则0＝f(0)<f(x1)＜f(x2)．从而x1f(x1)＜x2f(x2)，即g(x1)＜g(x2)．所以g(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．又log25．1＞0，20．8＞0，3＞0，且log 25．1＜log 28＝3，20．8＜21＜3，而20．8＜21＝log 24＜log 25．1，所以3＞log 25．1＞20．8＞0，所以c ＞a ＞b ．故选C ．16．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12．则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2 答案 D解析 当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可得当x >0时，f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2，故选D ．17．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln (1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．答案 －2解析 ∵f (x )＋f (－x )＝ln (1＋x 2－x )＋1＋ln (1＋x 2＋x )＋1＝ln (1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，∵f (a )＝4，∴f (－a )＝－2．18．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝其中a ∈R ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．答案 －25解析 ∵f (x )是周期为2的函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12．又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即－12＋a ＝110，解得a ＝35，则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25．三、模拟小题19．(2018·河南洛阳一模)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( )A ．π3B ．2π3C ．π D．4π3答案 B解析 由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)，则f (x )＝f (x ＋4)．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3．故选B ．20．(2018·河北石家庄一模)已知奇函数f (x )在x >0时单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( )A ．{x |0<x <1或x >2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0或x >3}D ．{x |x <－1或x >1} 答案 A解析 ∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0，则－1<x <0或x >1时，f (x )>0；x <－1或0<x <1时，f (x )<0．∴不等式f (x －1)>0即－1<x －1<0或x －1>1，解得0<x <1或x >2，故选A ．21．(2018·湖北荆州一模)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( ) A ．y ＝e xB ．y ＝tan xC ．y ＝x 3－x D ．y ＝ln 2＋x 2－x答案 D解析 函数y ＝e x不是奇函数，不满足题意；函数y ＝tan x 是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，不满足题意；函数y ＝x 3－x 是奇函数，当x ∈－33，33时，y ′＝3x 2－1<0，为减函数，不满足题意；函数y ＝ln 2＋x 2－x 是奇函数，在定义域(－2，2)内，函数t ＝2＋x2－x ＝－1－4x －2为增函数，函数y ＝ln t 也为增函数，故函数y ＝ln 2＋x2－x在定义域内为增函数，满足题意．故选D ．22．(2018·山西太原一模)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝4x 2＋2，设g (x )＝f (x )－2x 2，若g (x )的最大值和最小值分别为M 和m ，则M ＋m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 由g (x )＝f (x )－2x 2，得g (－x )＝f (－x )－2x 2，两式相加，可得g (－x )＋g (x )＝2，故g (x )的图象关于(0，1)对称，其最高点、最低点也关于(0，1)对称，所以M ＋m ＝2，故选B ．23．(2018·湖南祁阳二模)已知偶函数fx ＋π2，当x ∈－π2，π2时，f (x )＝x 13＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．c <a <b 答案 D解析 ∵当x ∈－π2，π2时，y ＝sin x 单调递增，y ＝x 13也为增函数，∴函数f (x )＝x 13＋sin x 也为增函数．∵函数fx ＋π2为偶函数，∴f －x ＋π2＝fx ＋π2，f (x )的图象关于x ＝π2对称，∴f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，∵0<π－3<1<π－2<π2，∴f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即c <a <b ，故选D ．24．(2018·广东佛山一模)已知f (x )＝2x＋a2x 为奇函数，g (x )＝bx －log 2(4x＋1)为偶函数，则f (ab )＝( )A ．174B ．52C ．－154D ．－32答案 D解析 由f (x )＝2x＋a2x 为奇函数，得f (－x )＋f (x )＝0，即2x＋a2x ＋2－x＋a2－x ＝0，可得a ＝－1；由g (x )＝bx －log 2(4x ＋1)为偶函数，得g (x )＝g (－x )，即bx －log 2(4x ＋1)＝b (－x )－log 2(4－x ＋1)，可得b ＝1，则ab ＝－1，f (ab )＝f (－1)＝2－1－12－1＝－32，故选D ．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2018·湖北咸宁11月联考)设函数f (x )＝(2k －1)a x－a －x(a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)求k 的值；(2)若f (1)＝－56，不等式f (3x －t )＋f (－2x ＋1)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数t的最小值．解 (1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝2k －1－1＝0，解得k ＝1．(2)由(1)知f (x )＝a x －a －x，因为f (1)＝－56，所以a －1a ＝－56，解得a ＝23或a ＝－32(舍去)，故f (x )＝23x －32x，则易知函数y ＝f (x )是R 上的减函数，∵f (3x －t )＋f (－2x ＋1)≥0，∴f (3x －t )≥f (2x －1)，∴3x －t ≤2x －1，∴t ≥x ＋1，即t ≥x ＋1在[－1，1]上恒成立，则t ≥2，即实数t 的最小值是2．2．(2018·安徽合肥质检)已知函数f (x )＝是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ． 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2．(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．3．(2019·安徽肥东中学调研)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(其中a >0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )＋g (x )的定义域；(2)判断函数f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明； (3)求使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合．解 (1)由题意得∴－1<x <1，∴所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)函数f (x )－g (x )为奇函数， 令H (x )＝f (x )－g (x )，则H (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )＝log a x ＋11－x，∵H (－x )＝log a －x ＋11＋x ＝－log a x ＋11－x＝－H (x )，∴函数H (x )＝f (x )－g (x )为奇函数． (3)∵f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x ) ＝log a (1－x 2)<0＝log a 1，∴当a >1时，0<1－x 2<1，∴0<x <1或－1<x <0． 当0<a <1时，1－x 2>1，不等式无解，综上，当a >1时，使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合为{x |0<x <1或－1<x <0}． 4．(2018·安徽宣城三校联考)已知函数f (x )＝log 121－axx －1为奇函数，a 为常数．(1)确定a 的值；(2)求证f (x )是(1，＋∞)上的增函数；(3)若对于区间[3，4]上的每一个x 值，不等式f (x )>12x＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即log 121＋ax －x －1＝－log 121－ax x －1，∴1＋ax －x －1＝x －11－ax ，整理得1－x 2＝1－a 2x 2，∴a 2＝1，解得a ＝±1， 当a ＝1时，1－ax x －1＝－1，不符合题意舍去，∴a ＝－1．(2)证明：由(1)可得f (x )＝log 121＋xx －1，设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则1＋x 2x 2－1－1＋x 1x 1－1＝(1＋x 2)(x 1－1)－(1＋x 1)(x 2－1)(x 2－1)(x 1－1)＝2(x 1－x 2)(x 2－1)(x 1－1)， ∵x 2>x 1>1，∴x 1－x 2<0，(x 2－1)(x 1－1)>0， ∴2(x 1－x 2)(x 2－1)(x 1－1)<0，∴1＋x 2x 2－1<1＋x 1x 1－1，∴log 121＋x 2x 2－1>log 121＋x 1x 1－1，即f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )是(1，＋∞)上的增函数．(3)依题意得m <log 121＋x x －1－12x 在[3，4]上恒成立，设u (x )＝log 121＋x x －1－12x，x ∈[3，4]，由(2)知函数u (x )＝log 121＋x x －1－12x在[3，4]上单调递增，∴当x ＝3时，u (x )有最小值，且u (x )min ＝u (3)＝－98，所以m <－98．故实数m 的取值范9 8．围为－∞，－。