例 交换积分次序：
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
y
解 积分区域:
y2 x x 2 y
y 2x x2 x 1 1 y2
O
1
2x
原式=
1
dy
2 y
f ( x, y)dx
0
1 1 y2
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例 求证
f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy.
D
D
23
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例 设( x)为[0,1]上的正值连续函数,
证明：
D
a
( (
x) x)
b( y)dxdy ( y)
1 2
(a
b)
其中a, b为常数，D ( x, y) 0 x, y 1
y
证
设I
D
a( x) (x)
回忆：平行截面面积为已知的立体的体积
A( x) 表示过点 o a x 且垂直于x 轴
x x dx b
x
的截面面积， A( x)为x 的已知连续函数
b
dV A( x)dx 立体体积 V a A(x)dx
此方法关键是求 A( x)
4
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用二重积分的几何意义说明其计算法:
2 1
Байду номын сангаас
9 8
1 x2 1 y x
11
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y
解法2： 先x后y
22
xyd 1 [y xydx]dy
2 y 1
·· y=x x=2
D
2
1
y
x2 2
2 dy y
0
x
1 y2
2
1
2
y
y3 2
dy
y
2
y4 8
2 1
9 8
y x2
12
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2.当D既是X-型区域也是Y-型区域时,可以 用两个公式进行计算.
y
Ⅱ
y d
Ⅰ
Ⅲ
D
c
0
x
0a
x b
8
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特殊地 D为矩形域: a≤x≤b,c≤y≤d
则
f ( x, y)d
b
d
a dxc
f ( x, y)dy
D
d
b
c dya f ( x, y)dx
若f ( x, y) f1( x) f2( y)
f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)的值等于以D为底,
以D曲面 z f ( x, y)为顶的曲顶柱体的体积.
应用计算“平
z
z f (x, y)
行截面面积为 已知的立体求 体积”的方法.
y
y 2(x)
A( x0 ) D
y 1(x)
＊计算截面面积
(
O
红色部分即A(x0)
a
)
x0 b x
6
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(2) 积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y)
y
d
D
x 1( y)
c
x 2( y)
y
d x 1( y) D
c
［Y－型］
x 2( y)
O
xO
x
其中函数1( y)、2( y)在区间 [c,d]上连续.
f ( x, y)d
d
例 计算 e x2dxdy, D是第一象限中由直线y x
D
和y x3围成区域.
解 yx
y
x3
(0,0)
, (1,1),
0 x1
DX
:
x
3
y
x
1x
ex2dxdy dx ex2dy
D
0
x3
(1,1) y x
y x3
1 0
ye x2
x x3
dx
1
( xe x2
0
x3e x2 )dx
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计算(学生练习）
1
1
(1) dy
1 x3dx
0
y
(2)
D
sin y
ydxdy,
D由y
答案：
2 (1) .
9
x , y x所围闭区域.
(2)1 sin1.
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练习
交换积分I
1
dx
x
2
1
f ( x, y)dy dx
b( y)dxdy ( y)
y x
1
由区域关于直线y x的对称性得
O
I
D
a ( (
y) y)
b( x)dxdy (x)
1x
所以, 2I
(a
b)dxdy
a
b
I
1 (a 2
b)
D
24
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小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy［. X－型］
则
bd
f1( x) f2( y)dxdy a ( c f1( x) f2( y)dy )dx
D
b
a f1( x)dx
d
c f2( y)dy
即等于两个定积分的乘积.
9
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二重积分是化为两次定积分来计算的，关键 是确定积分限. 定限要注意的问题： 1.上限>下限. 2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数. 3.外层积分上，下限应为常数(后积先定限). 4.二重积分的结果应为常数.
A( x0 )
2( x0 ) 1( x0 )
f
(
x0 ,
y)dy
A( x) 2( x) f ( x, y)dy 1 ( x)
V
f
( x,
y)d
b
a A( x)dx
D
b
(
2( x)
f ( x, y)dy) dx
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a 1 ( x)
a
1 ( x)
先对y后对x的二次积分(累次积分)
0
2ax x2
解y
2a
y 2ax x y2
2a
a y 2ax x2 x a a2 y2
O
a 2a x
原式=
a
dy
0
a y2
a2 y2
f ( x, y)dx
2a
a
dy
2a
0 a
f ( x, y)dx 2ady
a2 y2
a
2a
y2 f ( x, y)dx
2a
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0
O
a
0 (a x) f ( x)dx
a
x
0 y a,
y xa
证毕.
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例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分
别为 x2 y2 R2及 x2 z2 R2 . 求所围成的
立体的体积.
z
曲顶z R2 x2
解 V1 f ( x, y)d
例 计算积分I | y x2 | d ,
y
其 中( )为 : 0 x 1,0 y 1. 1
( 1 )
y x2
解 I
o
( y x2 )d ( x2 y)d
1
2
( 2 )
1x
41 15 10
11 . 30
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补充轮换对称性结论:
若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界 曲线方程中的x与y交换位置,方程不变), 则
1 e 1. 2
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选取积分次序, 不仅要看区域的特点, 而且要看被积函数的特点.
凡遇如下形式积分:
sin xdx, sinx2dx, cosx2dx, ex2dx, x
y e x2dx, e xdx,
dx , 等等,一定要放在
ln x
后面积分.
D
a
1 ( x )
D
f ( x, y)d
d
dy
c
2 ( y) 1 ( y )
f ( x, y)dx.［Y－型］
（在积分中要正确选择积分次序）
题型（1）化二重积分为二次积分； （2）交换积分次序；
25
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作业
习题8-2(1) (77页) 3.(1) (3)(4) 4. 5. 6.(1) (2) 7.(2)(3)
D
D
2
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(2)如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
y y 2(x) D
［X－型］
y
y 2(x)
D
y 1(x)
y 1(x)
Oa
b x Oa
bx
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
3
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D
R2 x2d
D