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常用逻辑用语.板块三.逻辑连接词与量词.学生版

题型一:逻辑连接词【例1】 写出下列命题的“p ⌝”命题:(1)正方形的四边相等;(2)平方和为0的两个实数都为0;(3)若ABC ∆是锐角三角形, 则ABC ∆的任何一个内角是锐角; (4)若0abc =,则,,a b c 中至少有一个为0; (5)若(1)(2)0x x --≠,则1x ≠且2x ≠.【例2】 若:{|1},:{0}p N x R x q ⊄∈>-=∅.写出由其构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的新命题,并指出其真假.【例3】 用联结词“且”、“或”分别联结下面所给的命题p q ,构成一个新的复合命题,判断它们的真假.⑴p :1是质数;q :1是合数;⑵p :菱形的对角线互相垂直;q :菱形的对角线互相平分;【例4】 把下列各组命题,分别用逻辑联结词“且”“或”“非”联结成新命题,并判断其真假.⑴p :梯形有一组对边平行;q :梯形有一组对边相等.⑵p :1是方程2430x x -+=的解;q :3是方程2430x x -+=的解. ⑶p :不等式2210x x -+>解集为R ;q :不等式2221x x -+≤解集为∅. ⑷p :{0}∅;q :0∈∅.【例5】 判断下面对结论的否定是否正确,如果不正确,请写出正确的否定结论:⑴至少有一个S 是P ;否定:至少有两个或两个以上S 是P ; ⑵最多有一个S 是P .否定:最少有一个S 是P ;典例分析板块三.逻辑连接词与量词⑶全部S 都是P .否定:全部的S 都不是P .【例6】 “220a b +≠”的含义为__________;“0ab ≠”的含义为__________.A .a b ,不全为0B .a b ,全不为0C .a b ,至少有一个为0D .a 不为0且b 为0,或b 不为0且a 为0【例7】 已知全集U =R ,A U ⊆,B U ⊆,如果命题p 3AB ,则命题“p ⌝”是( ) A 3A B 3U B C 3A BD 3()()U U A B【例8】 命题“关于x 的方程(0)ax b a =≠的解是唯一的”的结论的否定是( )A .无解B .两解C .至少两解D .无解或至少两解【例9】 若条件:P x A B ∈,则P ⌝是( )A .x A ∈且xB ∉ B .x A ∉或x B ∉C .x A ∉且x B ∉D .x A B ∈【例10】 命题:“若220(),a b a b +=∈R ,则“0a b ==”的逆否命题是( ) A .若0(),a b a b ≠≠∈R ,则220a b +≠ B .若0a ≠且0(),b a b ≠∈R ,则220a b +≠ C .若0(),a b a b =≠∈R ,则220a b +≠ D .若0a ≠或0(),b a b ≠∈R ,则220a b +≠【例11】 命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题,则实数a 的取值范围是( )A .0a <或3a ≥B .0a ≤或3a ≥C .0a <或3a >D .03a <<【例12】 命题“p 或q ”是真命题,“p 且q ”是假命题,则( )A .命题p 和命题q 都是假命题B .命题p 和命题q 都是真命题C .命题p 和命题“非q ”的真值不同D .命题p 和命题q 的真值不同【例13】 已知命题p :若实数x y ,满足220x y +=,则x y ,全为0;命题q :若a b >,则11a b<,给出下列四个复合命题:①p 且q ②p 或q ③p ⌝④q ⌝,其中真命题的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4【例14】 由下列各组命题构成“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,“p ⌝”为真的是( )A .p :0=∅,q :0∈∅B .p :等腰三角形一定是锐角三角形,q :正三角形都相似C .p :{}{}a a b ,,q :{}a a b ∈,D .p :53>,q :12是质数【例15】 在下列结论中,正确的是( )①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件 ②“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件 ③“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件 ④“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要不充分条件 A .①② B .①③ C .②④ D .③④【例16】 设命题p :2x >是24x >的充要条件,命题q :若22a bc c>,则a b >.则( ) A .“p 或q ”为真 B .“p 且q ”为真 C .p 真q 假 D .p ,q 均为假命题【例17】 若命题“p 且q ”为假,且“p ⌝”为假,则 ()A .p 或q 为假B .q 假C .q 真D .p 假【例18】 若条件B A x P ⋂∈:,则P ⌝是 ( )A.x A ∈且x B ∉B. x A ∉或 x B ∉C. x A ∉且x B ∉D. B A x ⋃∈【例19】 设集合{}{}|2,|3M x x P x x =>=<,那么“x M ∈,或x P ∈”是“x MP ∈”的 ( ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【例20】 p 或q ”是假命题.其中正确的结论是 ( )A .①③B .②④C .②③D .①④【例21】 已知命题p 且q 为假命题,则可以肯定 ( )A.p 为真命题B.q 为假命题C.,p q 中至少有一个是假命题D.,p q 都是假命题【例22】 已知条件:12p x +>,条件2:56q x x ->,则p ⌝是q ⌝的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【例23】 下列判断正确的是 ( )A.22x y x y ≠⇔≠或x y ≠-B.命题“a 、b 都是偶数,则a b +是偶数” 的逆否命题是“若a b +不是偶数,则a 、b 都不是偶数”C.若“p 或q ”为假命题,则“非p 且非q ”是真命题D.已知,,a b c 是实数,关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集是空集,必有0a >且0∆≤【例24】 在下边的横线上填上真命题或假命题.⑴若命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题,那么p q ∧是______; p q ⌝∧是_____;⑵若命题“p ⌝或q ⌝”是假命题,那么p q ∧是______;p q ∨是_______; p ⌝是_______.【例25】 ⑴p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的 条件;⑵p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的 条件. (填:充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要).【例26】 如在下列说法中:①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件;②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件;③“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件;④“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件.其中正确的是__________.【例27】 如果命题“非p 或非q ”是假命题,给出下列四个结论:①命题“p 且q ”是真命题;②命题“p 且q ”是假命题;③命题“p 或q ”是真命题;④命题“用“充分、必要、充要”填空:①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的________________条件;②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件.【例28】 已知命题::p “若1a >,则32a a >”;命题:q “若0a >,则1a a>”.则在“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”、“非q ”四个命题中,真命题是 .【例29】 命题:0p 不是自然数;命题:2q 是无理数,则在命题“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”、“非q ”中,真命题是 ;假命题是 .【例30】 命题“对一切非零实数x ,总有12x x+≥”的否定是 ,它是 命题.(填“真”或“假”)【例31】 甲、乙两人参加一次竞赛,设命题p 是“甲获奖”,命题q 是“乙获奖”,试用p q,及逻辑联结词“且”、“或”、“非”表示:⑴两人都获奖; ⑵两人都未获奖; ⑶恰有一人获奖; ⑷至少有一人获奖.【例32】 命题p :若R a b ∈,,则1a b +>是1a b +>的充分条件,命题q :函数12y x --的定义域是(1][3)-∞-+∞,,,则( ) A .p 或q 为假 B .p 且q 为真 C .p 真q 假 D .p 假q 真【例33】 已知p 是r 的充分条件而不是必要条件,q 是r 的充分条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件.现有下列命题:①s 是q 的充要条件;②p 是q 的充分条件而不是必要条件;③r 是q 的必要条件而不是充分条件;④是p s ⌝⌝的必要条件而不是充分条件;⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件,则正确命题序号是( )A .①④⑤B .①②④C .②③⑤D .②④⑤【例34】 已知p :方程220x mx ++=有两个不等的负根;q :方程244(2)10x m x +-+=无实根.若p q ∨为真,p q ∧为假,则实数m 的取值范围是_______.【例35】 已知命题p :关于x 的不等式20062008x x a -+->恒成立;命题q :关于x 的函数log (2)a y ax =-在[01],上是减函数.若p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,则实数a 的取值范围是_______;【例36】 已知命题p :方程2220a x ax +-=在[11],-上有解;命题q :只有一个实数满足不等式2220≤x ax a ++.若p q ∨是假命题,求a 的取值范围.【例37】 命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的正实数根,命题:q 方程244(2)10x m x +++=无实数根.若“p 或q ”为真命题,求m 的取值范围.【例38】 已知函数2()(1)lg 2f x x a x a =++++(a ∈R ,且2)a ≠-,⑴()f x 能表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 的和,求()g x 和()h x 的解析式;⑵命题p :函数()f x 在区间2[(1)),a ++∞上是增函数;命题q :函数()g x 是减函数.如果命题p 且q 为假,p 或q 为真,求a 的取值范围. ⑶在⑵的条件下,比较(2)f 与3lg2-的大小.题型二:全称量词与存在量词【例39】 判断下列命题是全称命题,还是存在性命题.⑴平面四边形都存在外接圆; ⑵有些直线没有斜率; ⑶三角形的内角和等于π; ⑷有一些向量方向不定; ⑸所有的有理数都是整数;⑹实数的平方是非负的.【例40】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题.⑴线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;⑵负数的平方是正数;⑶有些三角形不是等腰三角形; ⑷有些菱形是正方形.【例41】 设语句()p x :πcos()sin 2x x +=-,写出“()p θθ∀∈R ,”,并判断它是不是真命题.【例42】 用量词符号“∀∃,”表示下列命题,并判断下列命题的真假.⑴任意实数x 都有,2210x x ++>; ⑵存在实数x ,2210x x ++<;⑶存在一对实数a b ,,使20a b +<成立; ⑷有理数x 的平方仍为有理数;⑸实数的平方大于0.⑹有一个实数乘以任意一个实数都等于0.【例43】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并判断真假.⑴所有的素数是奇数; ⑵一切实数x ,有2(1)0x ->;⑶对于正实数x ,12x x +≥;⑷1sin 2sin x x x∀∈+R ,≥;⑸一定有实数x 满足2230x x --=; ⑹至少有一个整数x 能被2和3整除; ⑺存在两个相交平面垂直于同一条直线;⑻{|x x x ∃∈是无理数},2x 是无理数.【例44】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并判断真假.⑴21x +是整数(x ∈R );⑵对所有的实数x ,3x >;⑶对任意一个整数x ,221x +为奇数;⑷末位是0的整数,可以被2整除;⑸角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; ⑹正四面体中两侧面的夹角相等; ⑺有的实数是无限不循环小数;⑻有些三角形不是等腰三角形; ⑼有的菱形是正方形.【例45】 写出下列命题p 的否定形式,并判断p 与p ⌝的真假.⑴平行四边形的对边相等; ⑵不等式22210x x ++≤有实数解. ⑶x ∀∈R ,210x x ++>; ⑷x ∃∈R ,21x x +<;⑸有些实数的绝对值是正数. ⑹不是每个质数都是偶数.【例46】 判断下列命题的真假:(1)对任意的,x y 都有222x y xy +≥; (2)所有四边形的两条对角线都互相平分;(3)∃实数2a ≠且1b ≠-使22425a b a b +-+≤-; (4)存在实数x 使函数4()(0)f x x x x=+>取得最小值4.【例47】 对于下述命题p ,写出“p ⌝”形式的命题,并判断“p ”与“p ⌝”的真假:(1):p 有一个素数是偶数;. (2):p 任意正整数都是质数或合数; (3):p 三角形有且仅有一个外接圆.【例48】 用量词符号“∀∃,”表示下列命题,写出它们的否定,并判断这两个命题的真假.⑴存在一对实数x y ,,使2330x y ++>成立; ⑵对任意实数x y ,,有220x y +>成立. ⑶对任意实数x y ,,有221x y x +>-成立.【例49】 已知命题p :对任意的x ∈R ,有sin 1x ≤,则p ⌝是( )A .存在x ∈R ,有sin 1x ≥B .对任意的x ∈R ,有sin 1x ≥C .存在x ∈R ,有sin 1x >D .对任意的x ∈R ,有sin 1x >【例50】 命题“对任意的3210x x x ∈-+R ,≤”的否定是( )A .不存在3210x x x ∈-+R ,≤ B .存在3210x x x ∈-+R ,≥ C .存在3210x x x ∈-+>R ,D . 对任意的3210x x x ∈-+>R ,【例51】 已知条件p :|1|2x +>,条件q :x a >,且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,则a的取值范围可以是( )A .1a ≥B .1a ≤C .1a ≥-D .3a -≤【例52】 命题“对任意的3210,≤x x x ∈-+R ”的否定是( ) A .不存在3210,≤x x x ∈-+R B .存在3210,≥x x x ∈-+R C .存在3210,x x x ∈-+>R D . 对任意的3210,x x x ∈-+>R【例53】 有四个关于三角函数的命题:1:p x ∃∈R ,221sin cos 222x x += 2:p x ∃,y ∈R ,sin()sin sin x y x y -=-[]3:0π,p x ∀∈1cos 2sin 2x x - 4π:sin cos 2p x y x y =⇒+= 其中假命题的是( )A .1p ,4pB .2p ,4pC .1p ,3pD .2p ,3p【例54】 已知命题p :sin 1,≤x R x ∀∈,则( )A .:sin 1,≥p x x ⌝∃∈RB .:sin 1,≥p x x ⌝∀∈RC .:sin 1,p x x ⌝∃∈>RD .:sin 1,p x x ⌝∀∈>R【例55】 命题“存在0x ∈R ,020x ≤”的否定是( )A .不存在0x ∈R ,020x >B .存在0x ∈R ,020x ≥C .对任意的∈R x ,20≤xD .对任意的x ∈R ,20x >【例56】 结论“至少有两个解”的否定的正确说法是( )A .至少有三个解B .至多有一个解C .至多有两个解D .只有一个解【例57】 命题p :存在实数m ,使方程210x mx ++=有实数根,命题q :对任意实数m ,方程210x mx ++=有实数根, 则“非p ”和“非q ”的形式的命题分别是 ①存在实数m ,使得方程210x mx ++=无实根 ②不存在实数m ,使得方程210x mx ++=无实根 ③对任意的实数m ,方程210x mx ++=无实根 ④至多有一个实数m ,使得方程210x mx ++=有实根【例58】 命题p 的否定是“对所有正数1x x x >+”,则命题p是 .。

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